Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: (x+y+z=3)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: (Q = frac{{x + 1}}{{1 + {y^2}}} +

Ta có: 4(2x² + xy + 2y²) = 5(x+ y)² + 3(x- y)² \( \ge \) 5(x+ y)² 

Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi x = y

Vì x, y > 0 nên \(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(x + y)^2\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y

Chứng minh tương tự ta có:

\(\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(y + z)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi y = z

\(\sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(z + x)^2\)  . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi z = x

Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:

\(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}}  + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}}  + \sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}}  \ge \sqrt 5 (x + y + z)\)

Dấu ‘‘=’’xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)