AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho x, y, z là ba số thực dương thỏa mãn: \(x+y+z=3\)

    Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(Q = \frac{{x + 1}}{{1 + {y^2}}} + \frac{{y + 1}}{{1 + {z^2}}} + \frac{{z + 1}}{{1 + {x^2}}}\).

    Lời giải tham khảo:

    Ta có: 4(2x2 + xy + 2y2) = 5(x+ y)2 + 3(x- y)2 \( \ge \) 5(x+ y)2 

    Dấu ‘‘ =’’ xảy ra khi x = y

    Vì x, y > 0 nên \(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(x + y)^2\). Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi x = y

    Chứng minh tương tự ta có:

    \(\sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(y + z)^2\) . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi y = z

    \(\sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}}  \ge \frac{{\sqrt 5 }}{2}(z + x)^2\)  . Dấu ‘‘=’’ xảy ra khi z = x

    Cộng ba bất đẳng thức trên vế theo vế, ta được:

    \(\sqrt {2{x^2} + xy + 2{y^2}}  + \sqrt {2{y^2} + yz + 2{z^2}}  + \sqrt {2{z^2} + zx + 2{x^2}}  \ge \sqrt 5 (x + y + z)\)

    Dấu ‘‘=’’xảy ra khi x = y = z = \(\frac{1}{3}\)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA