Cho nữa đường tròn tâm O có đường kính PQ = 2R .Vẽ các tiếp tuyến Px, Qy (Px ,Qy và nữa đường tròn cùng thuộc nữa mặt phẳng bờ PQ).Trên nữa đường tròn đã cho lấy điểm M không trùng với P và Q ,tiếp tuyến tại M cắt Px, Qy lần lượt tại E và F.

1) Xét tứ giác AHEK có: \(\widehat {AHE} = {90^0}\)

\(\widehat {AKE} = {90^0}\) (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \widehat {AHE} + \widehat {AKE} = {180^0}\)Tứ giác AHEK nội tiếp 

2) Do đường kính \(AB\bot MN\) nên B là điểm chính giữa cung MN    

\( \Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {NKB}\) (1)

Ta lại có: BK // NF (cùng vuông góc với AC)

\( \Rightarrow \widehat {KNF} = \widehat {NKB}\) (so le trong)  (2)

\( \Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {MFN}\) (đồng vị)  (3)

Từ (1);(2);(3) \( \Rightarrow \widehat {KNF} = \widehat {MFN}\) hay \( \Rightarrow \widehat {KFN} = \widehat {KNF}\)

\( \Rightarrow \Delta KNF\) cân tại K

\(\Delta MKN\) có KE là phân giác của góc \(\widehat {MKN} \Rightarrow \frac{{ME}}{{EN}} = \frac{{MK}}{{KN}}\quad (4)\)

Ta lại có: \(KE \bot KC\); KE là phân giác của góc \(\widehat {MKN} \Rightarrow KC\) là phân giác ngoài của \(\Delta MHN\) tại K \( \Rightarrow \frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{KM}}{{KN}}\) (5)

Từ (4) và (5) \( \Rightarrow \frac{{ME}}{{EN}} = \frac{{CM}}{{CN}} \Rightarrow ME.CN = EN.CM\)

3) Ta có \(\widehat {AKB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BKC} = {90^0} \Rightarrow \Delta KEC\) vuông tại K

Theo giả thiết ta lại có \(KE = KC \Rightarrow \Delta KEC\) vuông cân tại K \(\widehat {KEC} = \widehat {KCE} = {45^0}\)

Ta có \(\widehat {BEH} = \widehat {KEC} = {45^0} \Rightarrow \widehat {OBK} = {45^0}\)

Mặt khác \(\Delta OBK\) cân tại O \( \Rightarrow \Delta OBK\) vuông cân tại O

\( \Rightarrow OK//MN\) (cùng vuông góc với AB)