Cho nữa đường tròn tâm O có đường kính PQ = 2R .Vẽ các tiếp tuyến Px, Qy (Px ,Qy và nữa đường tròn cùng thuộc nữa mặt phẳng bờ PQ).Trên nữa đường tròn đã cho lấy điểm M không trùng với P và Q ,tiếp tuyến tại M cắt Px, Qy lần lượt tại E và F.

1) Xét tứ giác AHEK có: $\widehat {AHE} = {90^0}$

$\widehat {AKE} = {90^0}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\Rightarrow \widehat {AHE} + \widehat {AKE} = {180^0}$Tứ giác AHEK nội tiếp 

2) Do đường kính $AB\bot MN$ nên B là điểm chính giữa cung MN    

$\Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {NKB}$ (1)

Ta lại có: BK // NF (cùng vuông góc với AC)

$\Rightarrow \widehat {KNF} = \widehat {NKB}$ (so le trong)  (2)

$\Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {MFN}$ (đồng vị)  (3)

Từ (1);(2);(3) $\Rightarrow \widehat {KNF} = \widehat {MFN}$ hay $\Rightarrow \widehat {KFN} = \widehat {KNF}$

$\Rightarrow \Delta KNF$ cân tại K

$\Delta MKN$ có KE là phân giác của góc $\widehat {MKN} \Rightarrow \frac{{ME}}{{EN}} = \frac{{MK}}{{KN}}\quad (4)$

Ta lại có: $KE \bot KC$; KE là phân giác của góc $\widehat {MKN} \Rightarrow KC$ là phân giác ngoài của $\Delta MHN$ tại K $\Rightarrow \frac{{CM}}{{CN}} = \frac{{KM}}{{KN}}$ (5)

Từ (4) và (5) $\Rightarrow \frac{{ME}}{{EN}} = \frac{{CM}}{{CN}} \Rightarrow ME.CN = EN.CM$

3) Ta có $\widehat {AKB} = {90^0} \Rightarrow \widehat {BKC} = {90^0} \Rightarrow \Delta KEC$ vuông tại K

Theo giả thiết ta lại có $KE = KC \Rightarrow \Delta KEC$ vuông cân tại K $\widehat {KEC} = \widehat {KCE} = {45^0}$

Ta có $\widehat {BEH} = \widehat {KEC} = {45^0} \Rightarrow \widehat {OBK} = {45^0}$

Mặt khác $\Delta OBK$ cân tại O $\Rightarrow \Delta OBK$ vuông cân tại O

$\Rightarrow OK//MN$ (cùng vuông góc với AB)