Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tâm giác ABC.

1. Gọi giao điểm của CH với AB là I,  AH với BC là K

Ta có tứ giác BIHK nội tiếp \( \Rightarrow I\hat BK + K\hat HI = {180^0}\)

mà \(K\hat HI = A\hat HC \Rightarrow I\hat BK + A\hat HC = {180^0}\) (1)

Ta lại có \(I\hat BK = A\hat MC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

\(A\hat MC = A\hat PC\) (t/c đối xứng)  \( \Rightarrow I\hat BK = A\hat PC\)  (2)

Từ (1) và (2)   \( \Rightarrow A\hat PC + A\hat HC = {180^0}\)

Suy ra tứ giác AHCP nội tiếp.

2. Tứ giác AHCP nội tiếp \( \Rightarrow A\hat HP = A\hat CP = A\hat CM\)

Ta lại có  \(A\hat CM + A\hat BM = {180^0} \Rightarrow A\hat HP + A\hat BM = {180^0}\)   mà  \(A\hat BM = A\hat BN\)

\( \Rightarrow A\hat HP + A\hat BN = {180^0}\)   (3)

Chứng minh tương tự câu 1) ta có tứ giác AHBN nội tiếp

    \( \Rightarrow A\hat BN = A\hat HN\)   (4)

Từ (3) và (4) \( \Rightarrow A\hat HP + A\hat HN = {180^0} \Rightarrow \) N, H, P thẳng hàng

3. \(M\hat AN = 2B\hat AM;M\hat AP = 2M\hat AC\)

=> \(N\hat AP = 2(B\hat AM + M\hat AC) = 2B\hat AC\) (<180⁰) không đổi

Có AN = AM = AP, cần chứng minh NP = 2.AP.sinBAC

 => NP lớn nhất <=>  AP lớn nhất mà AP = AM 

AM lớn nhất  <=> AM là đường kính của đường tròn (O)

Vậy NP lớn nhất <=>  AM là đường kính của đường tròn.