AMBIENT
  • Câu hỏi:

    Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), H là trực tâm của tâm giác ABC. Gọi M là một điểm trên cung BC không chứa A (M khác BC). Gọi NP lần lượt là điểm đối xứng của M qua các đường thẳng ABAC.

    1. Chứng minh tứ giác AHCP nội tiếp.

    2. Chứng minh ba điểm N, H, P thẳng hàng.

    3. Tìm vị trí của M để đoạn NP lớn nhất

    Lời giải tham khảo:

    1. Gọi giao điểm của CH với AB là I,  AH với BC là K

    Ta có tứ giác BIHK nội tiếp \( \Rightarrow I\hat BK + K\hat HI = {180^0}\)

    mà \(K\hat HI = A\hat HC \Rightarrow I\hat BK + A\hat HC = {180^0}\) (1)

    Ta lại có \(I\hat BK = A\hat MC\) (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung)

    \(A\hat MC = A\hat PC\) (t/c đối xứng)  \( \Rightarrow I\hat BK = A\hat PC\)  (2)

    Từ (1) và (2)   \( \Rightarrow A\hat PC + A\hat HC = {180^0}\)

    Suy ra tứ giác AHCP nội tiếp.

    2. Tứ giác AHCP nội tiếp \( \Rightarrow A\hat HP = A\hat CP = A\hat CM\)

    Ta lại có  \(A\hat CM + A\hat BM = {180^0} \Rightarrow A\hat HP + A\hat BM = {180^0}\)   mà  \(A\hat BM = A\hat BN\)

    \( \Rightarrow A\hat HP + A\hat BN = {180^0}\)   (3)

    Chứng minh tương tự câu 1) ta có tứ giác AHBN nội tiếp

        \( \Rightarrow A\hat BN = A\hat HN\)   (4)

    Từ (3) và (4) \( \Rightarrow A\hat HP + A\hat HN = {180^0} \Rightarrow \) N, H, P thẳng hàng

    3. \(M\hat AN = 2B\hat AM;M\hat AP = 2M\hat AC\)

    => \(N\hat AP = 2(B\hat AM + M\hat AC) = 2B\hat AC\) (<1800) không đổi

    Có AN = AM = AP, cần chứng minh NP = 2.AP.sinBAC

     => NP lớn nhất <=>  AP lớn nhất mà AP = AM 

    AM lớn nhất  <=> AM là đường kính của đường tròn (O)

    Vậy NP lớn nhất <=>  AM là đường kính của đường tròn.

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA