1. Giải phương trình: \(3{x^2} + x - \frac{{29}}{6} = \sqrt {\frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}}} \)2.

1. ĐKXĐ: \(x \ge  - \frac{{61}}{{12}}\)

Đặt \(\sqrt {\frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}}}  = y + \frac{1}{6}\)  (ĐK: \(y \ge  - \frac{1}{6}\))

     \( \Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}} = {y^2} + \frac{1}{3}y + \frac{1}{{36}}\)

 \( \Leftrightarrow 12x + 61 = 36{y^2} + 12y + 1 \Leftrightarrow 3{y^2} + y = x + 5\)     (1)

Mặt khác từ phương trình đã cho ta có:

\(3{x^2} + x - \frac{{29}}{6} = y + \frac{1}{6} \Leftrightarrow 3{x^2} + x = y + 5\) (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
3{x^2} + x = y + 5\\
3{y^2} + y = x + 5
\end{array} \right.\)

Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình:

\(\left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - y = 0\\
3x + 3y + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = y\\
y =  - \frac{{3x + 2}}{3}
\end{array} \right.\)     

* Với \(x = y \Rightarrow 3{x^2} = 5 \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{5}{3}} \) (loại);  \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} \) (thỏa mãn ĐK)

* Với \(y =  - \frac{{3x + 2}}{3} \Rightarrow 3{x^2} + x =  - \frac{{3x + 2}}{3} + 5 \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x - 13 = 0\)

\( \Rightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt {14} }}{3}\) (loại), \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt {14} }}{3}\) (thỏa mãn ĐK)

Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} ;x = \frac{{ - 1 - \sqrt {14} }}{3}\)

2. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {4{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 51} \right){\left( {x - y} \right)^2} + 3 = 0\\
\left( {2x - 7} \right)\left( {x - y} \right) + 1 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} - 4xy + 4{y^2} + \frac{3}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 51\\
2x + \frac{1}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {x + y} \right)^2} + 3\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \right] = 51\\
x + y + x - y + \frac{1}{{x - y}} = 7
\end{array} \right.\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x + y\\
v = x - y + \frac{1}{{x - y}}
\end{array} \right.\) (*)

Hệ phương trình trên trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
{u^2} + 3{v^2} = 57\\
u + v = 7
\end{array} \right.\,\,\left( I \right)\)

Giải hệ phương trình (I) ta được: \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {(3;4),\left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)} \right\}\)

Thay \(\left( {u;v} \right) = (3;4)\) vào (*) giải ra ta được:

\(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right),\left( {\frac{{5 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)} \right\}\)

Thay \(\left( {u;v} \right) = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) vào (*): Hệ phương trình vô nghiệm.

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:

\(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right),\left( {\frac{{5 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)} \right\}\)