AMBIENT
  • Câu hỏi:

    1. Giải phương trình: \(3{x^2} + x - \frac{{29}}{6} = \sqrt {\frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}}} \)

    2. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
    \left( {4{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 51} \right){\left( {x - y} \right)^2} + 3 = 0\\
    \left( {2x - 7} \right)\left( {x - y} \right) + 1 = 0
    \end{array} \right.\)     

    Lời giải tham khảo:

    1. ĐKXĐ: \(x \ge  - \frac{{61}}{{12}}\)

    Đặt \(\sqrt {\frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}}}  = y + \frac{1}{6}\)  (ĐK: \(y \ge  - \frac{1}{6}\))

         \( \Rightarrow \frac{x}{3} + \frac{{61}}{{36}} = {y^2} + \frac{1}{3}y + \frac{1}{{36}}\)

     \( \Leftrightarrow 12x + 61 = 36{y^2} + 12y + 1 \Leftrightarrow 3{y^2} + y = x + 5\)     (1)

    Mặt khác từ phương trình đã cho ta có:

    \(3{x^2} + x - \frac{{29}}{6} = y + \frac{1}{6} \Leftrightarrow 3{x^2} + x = y + 5\) (2)

    Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
    3{x^2} + x = y + 5\\
    3{y^2} + y = x + 5
    \end{array} \right.\)

    Lấy phương trình trên trừ phương trình dưới ta được phương trình:

    \(\left( {x - y} \right)\left( {3x + 3y + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x - y = 0\\
    3x + 3y + 2 = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
    x = y\\
    y =  - \frac{{3x + 2}}{3}
    \end{array} \right.\)     

    * Với \(x = y \Rightarrow 3{x^2} = 5 \Rightarrow x =  - \sqrt {\frac{5}{3}} \) (loại);  \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} \) (thỏa mãn ĐK)

    * Với \(y =  - \frac{{3x + 2}}{3} \Rightarrow 3{x^2} + x =  - \frac{{3x + 2}}{3} + 5 \Leftrightarrow 9{x^2} + 6x - 13 = 0\)

    \( \Rightarrow x = \frac{{ - 1 + \sqrt {14} }}{3}\) (loại), \(x = \frac{{ - 1 - \sqrt {14} }}{3}\) (thỏa mãn ĐK)

    Vậy nghiệm của phương trình là: \(x = \sqrt {\frac{5}{3}} ;x = \frac{{ - 1 - \sqrt {14} }}{3}\)

    2. Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}
    \left( {4{x^2} - 4xy + 4{y^2} - 51} \right){\left( {x - y} \right)^2} + 3 = 0\\
    \left( {2x - 7} \right)\left( {x - y} \right) + 1 = 0
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    4{x^2} - 4xy + 4{y^2} + \frac{3}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = 51\\
    2x + \frac{1}{{x - y}} = 7
    \end{array} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    {\left( {x + y} \right)^2} + 3\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + \frac{1}{{{{\left( {x - y} \right)}^2}}}} \right] = 51\\
    x + y + x - y + \frac{1}{{x - y}} = 7
    \end{array} \right.\)

    Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
    u = x + y\\
    v = x - y + \frac{1}{{x - y}}
    \end{array} \right.\) (*)

    Hệ phương trình trên trở thành \(\left\{ \begin{array}{l}
    {u^2} + 3{v^2} = 57\\
    u + v = 7
    \end{array} \right.\,\,\left( I \right)\)

    Giải hệ phương trình (I) ta được: \(\left( {u;v} \right) \in \left\{ {(3;4),\left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)} \right\}\)

    Thay \(\left( {u;v} \right) = (3;4)\) vào (*) giải ra ta được:

    \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right),\left( {\frac{{5 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)} \right\}\)

    Thay \(\left( {u;v} \right) = \left( {\frac{{15}}{2}; - \frac{1}{2}} \right)\) vào (*): Hệ phương trình vô nghiệm.

    Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm:

    \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {\frac{{5 + \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 - \sqrt 3 }}{2}} \right),\left( {\frac{{5 - \sqrt 3 }}{2};\frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}} \right)} \right\}\)

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>