AMBIENT
  • Câu hỏi:

      1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

        2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

             Chứng minh rằng \(a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \,\, \le \,\,5\,\,\) 

    Lời giải tham khảo:

    1. Đặt \(y = \sqrt {x + \frac{1}{4}} \) với \(y \ge 0\)

    \( \Leftrightarrow {y^2} = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = {y^2} - \frac{1}{4}\)

    Phương trình đã cho trở thành: \(n = {y^2} - \frac{1}{4} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{4} + y} \)

    Vì \({y^2} + \frac{1}{4} + y = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\) nên \(n = {y^2} + y + \frac{1}{4}\). Từ đó ta có: \(n \ge \frac{1}{4}\) (vì \(y \ge 0\))

    Với \(n \ge \frac{1}{4}\) thì \(y = \sqrt n  - \frac{1}{2}\)  hay \(\sqrt {x + \frac{1}{4}}  = \sqrt n  - \frac{1}{2}\)

    Suy ra \(x = n + \frac{1}{4} - \sqrt n  - \frac{1}{4} = n - \sqrt n \)

    Để x nguyên với giá trị nguyên của n thì n phải là số chính phương, nghĩa là n = t2 với \(t \in Z\) . Hơn nữa \(t \ne 0\)  (vì \(n \ne 0\) do \(n \ge \frac{1}{4}\) ).

    Vậy nghiệm nguyên của phương trình đó là: \(x = {t^2} - t;n = {t^2}\)  trong đó t là số nguyên khác 0.

    2. Từ: 2x2 + x = 3y2 + y                              (1)

    => 2x2 – 2y2 + x – y =  y2

     => (x – y)(2x + 2y + 1) = y2                    (2)

    Mặt khác từ (1) ta có: 3x2 – 3y2 + x – y = x2

    <=> ( x – y)( 3x + 3y + 1) = x2

    => (x – y)2( 2x + 2y +1)(3x +3y + 1) = x2y2

    => (2x + 2y +1)(3x + 3y + 1) là số chính phương (3) 

    Gọi (2x + 2y + 1; 3x +3y + 1) = d

    => ( 2x + 2y + 1) d;  (3x + 3y + 1) d

    => (3x + 3y + 1) – (2x + 2y + 1) = (x + y) d

    => 2(x + y) d =>( 2x + 2y + 1) – 2(x + y) = 1 chia hết cho d nên d = 1

      => (2x + 2y + 1; 3x + 3y + 1) = 1                       (4)       

    Từ (3) và (4) =>  2x + 2y + 1 và 3x + 3y + 1 đều là số chính phương.

    Lại có từ (2) =>(x –  y)(2x + 2y + 1) là số chính phương.

    Suy ra x – y cũng là số chính phương.

     Vậy x – y; 2x + 2y + 1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương khi

    2x2 + x = 3y2 + y.

     

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA