1.

1. Đặt \(y = \sqrt {x + \frac{1}{4}} \) với \(y \ge 0\)

\( \Leftrightarrow {y^2} = x + \frac{1}{4} \Leftrightarrow x = {y^2} - \frac{1}{4}\)

Phương trình đã cho trở thành: \(n = {y^2} - \frac{1}{4} + \sqrt {{y^2} + \frac{1}{4} + y} \)

Vì \({y^2} + \frac{1}{4} + y = {\left( {y + \frac{1}{2}} \right)^2}\) nên \(n = {y^2} + y + \frac{1}{4}\). Từ đó ta có: \(n \ge \frac{1}{4}\) (vì \(y \ge 0\))

Với \(n \ge \frac{1}{4}\) thì \(y = \sqrt n  - \frac{1}{2}\)  hay \(\sqrt {x + \frac{1}{4}}  = \sqrt n  - \frac{1}{2}\)

Suy ra \(x = n + \frac{1}{4} - \sqrt n  - \frac{1}{4} = n - \sqrt n \)

Để x nguyên với giá trị nguyên của n thì n phải là số chính phương, nghĩa là n = t² với \(t \in Z\) . Hơn nữa \(t \ne 0\)  (vì \(n \ne 0\) do \(n \ge \frac{1}{4}\) ).

Vậy nghiệm nguyên của phương trình đó là: \(x = {t^2} - t;n = {t^2}\)  trong đó t là số nguyên khác 0.

2. Từ: 2x² + x = 3y² + y                              (1)

=> 2x² – 2y² + x – y =  y²

 => (x – y)(2x + 2y + 1) = y²                    (2)

Mặt khác từ (1) ta có: 3x² – 3y² + x – y = x²

<=> ( x – y)( 3x + 3y + 1) = x²

=> (x – y)²( 2x + 2y +1)(3x +3y + 1) = x²y²

=> (2x + 2y +1)(3x + 3y + 1) là số chính phương (3) 

Gọi (2x + 2y + 1; 3x +3y + 1) = d

=> ( 2x + 2y + 1) d;  (3x + 3y + 1) d

=> (3x + 3y + 1) – (2x + 2y + 1) = (x + y) d

=> 2(x + y) d =>( 2x + 2y + 1) – 2(x + y) = 1 chia hết cho d nên d = 1

  => (2x + 2y + 1; 3x + 3y + 1) = 1                       (4)       

Từ (3) và (4) =>  2x + 2y + 1 và 3x + 3y + 1 đều là số chính phương.

Lại có từ (2) =>(x –  y)(2x + 2y + 1) là số chính phương.

Suy ra x – y cũng là số chính phương.

 Vậy x – y; 2x + 2y + 1 và 3x + 3y +1 đều là các số chính phương khi

2x² + x = 3y² + y.