ADSENSE
*/ ?>
  • Câu hỏi:

      Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

    \(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} .\)

    Lời giải tham khảo:

    Ta có:

    \(\left( {\frac{{{a^2}}}{b} - a + b} \right) + b = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{b} + b \ge 2\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \) (Áp dụng BĐT Cô-si)

    \( = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {\frac{3}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2} + \frac{1}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2}}  \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)

    Suy ra: \(\frac{{{a^2}}}{b} - a + 2b \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\) (1)

    Tương tự, ta có:

    \(\frac{{{b^2}}}{c} - b + 2c \ge \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\)  (2)

    \(\frac{{{c^2}}}{a} - c + 2a \ge \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}}  + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\) (3)

    Từ (1), (2) và (3) suy ra:

    \(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} .\)

    Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b= c

     

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

*/?>
AMBIENT
?>