Cho a, b, c > 0.

Ta có:

\(\left( {\frac{{{a^2}}}{b} - a + b} \right) + b = \frac{{{a^2} - ab + {b^2}}}{b} + b \ge 2\sqrt {{a^2} - ab + {b^2}} \) (Áp dụng BĐT Cô-si)

\( = \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {\frac{3}{4}{{\left( {a - b} \right)}^2} + \frac{1}{4}{{\left( {a + b} \right)}^2}}  \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\)

Suy ra: \(\frac{{{a^2}}}{b} - a + 2b \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \frac{1}{2}\left( {a + b} \right)\) (1)

Tương tự, ta có:

\(\frac{{{b^2}}}{c} - b + 2c \ge \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \frac{1}{2}\left( {b + c} \right)\)  (2)

\(\frac{{{c^2}}}{a} - c + 2a \ge \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}}  + \frac{1}{2}\left( {c + a} \right)\) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra:

\(\frac{{{a^2}}}{b} + \frac{{{b^2}}}{c} + \frac{{{c^2}}}{a} \ge \sqrt {{a^2} - ab + {b^2}}  + \sqrt {{b^2} - bc + {c^2}}  + \sqrt {{c^2} - ca + {a^2}} .\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b= c