Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có thể tích bằng \({a^3}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tính \(\cos \alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy.

Câu hỏi:
Cho khối chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có thể tích bằng \({a^3}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a.\) Tính \(\cos \alpha \) với \(\alpha \) là góc giữa mặt bên và mặt đáy.
- A. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 5 }}.\)
- B. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.\)
- C. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {37} }}.\)
- D. \(\cos \alpha = \frac{1}{{\sqrt {19} }}.\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, I là trung điểm của BC.

Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \frac{1}{3}.{a^2}.SO = {a^3} \Rightarrow SO = 3a\)

Do \(\left\{ \begin{array}{l}OI \bot BC\\SI \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOI} \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\BC \bot \left( {SOI} \right)\\\left( {SOI} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SI\\\left( {SOI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = OI\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {OI;SI} \right) = \angle SIO\\ \Rightarrow \cos \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \cos \angle SIO = \frac{{OI}}{{SI}} = \frac{{OI}}{{\sqrt {O{I^2} + S{O^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + 9{a^2}} }} = \frac{{\frac{a}{2}}}{{\frac{{a\sqrt {37} }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt {37} }}.\end{array}\)

Chọn C.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE