Cho hàm số \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}}\) có đồ thị \((C)\). Đường thẳng \(d\) có phương trình \(y = ax + b\) là tiếp tuyến của \((C)\), biết \(d\) cắt trục hoành tại \(A\)và cắt trục tung tại \(B\)sao cho tam giác \(OAB\)cân tại \(O\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính \(a + b\).

Do \(\Delta OAB\) cân tại \(O\). Mà \(\angle AOB = 90^\circ  \Rightarrow \Delta OAB\) vuông cân tại O

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\)  taoh với trục \(Ox\) góc \({45^0}\) hoặc góc \({135^0}\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(d\) có hệ số góc bằng \(1\) hoặc \( - 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1\\a =  - 1\end{array} \right..\)

Ta có:  \(y = \frac{{x + 2}}{{2x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} < 0,\,\,\forall x \ne  - \frac{3}{2}\,\, \Rightarrow \) Hệ số góc của đường thẳng d chỉ có thể là \( - 1 \Rightarrow a =  - 1\)

Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm \( \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{{{\left( {2{x_0} + 3} \right)}^2}}} =  - 1 \Leftrightarrow {\left( {2{x_0} + 3} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} =  - 1\\{x_0} =  - 2\end{array} \right.\)

+) \({x_0} =  - 1 \Rightarrow {y_0} = 1 \Rightarrow \left( d \right):y =  - 1\left( {x + 1} \right) + 1 \Leftrightarrow y =  - x\): Loại, do \(y =  - x\) cắt 2 trục tọa độ tại điểm duy nhất là \(O\left( {0;0} \right)\)

+) \({x_0} =  - 2 \Rightarrow {y_0} = 0 \Rightarrow \left( d \right):y =  - 1\left( {x + 2} \right) + 0 \Leftrightarrow y =  - x - 2 \Rightarrow b =  - 2\,\, \Rightarrow a + b =  - 1 - 2 =  - 3\).

Chọn D.