đồ thị hàm số \(y\, = \,\frac{{2x\, + \,1}}{{x\, - \,1}}\) \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) sao cho trọng tâm tam giác \(OAB\) thuộc đường thẳng \(\Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0\), với \(O\) là gốc tọa độ. Tính \(a + 2b.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của \(d\) và \(\left( C \right)\) là:

 \(\begin{array}{l}\;\;\;\;\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = \, - 3x\, + \,m,\,\left( {x \ne 1} \right) \Leftrightarrow 2x + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( { - 3x + m} \right)\\ \Leftrightarrow 2x + 1 =  - 3{x^2} + \left( {m + 3} \right)x - m \Leftrightarrow 3{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m + 1 = 0\,\,(*)\end{array}\)

Để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại hai điểm phân biệt \(A,B\) thì (*) có 2 nghiệm phân biệt khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta  > 0\\{3.1^2} - \left( {m + 1} \right).1 + m + 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {m + 1} \right)^2} - 12\left( {m + 1} \right) > 0\\3 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {m - 11} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 11\end{array} \right.\)

Giả sử \({x_1},{x_2}\) là nghiệm của (*) \( \Rightarrow {x_1} + {x_2} = \frac{{m + 1}}{3}\)

Tọa độ giao điểm \(A\left( {{x_1};{y_1}} \right),B\left( {{x_2};{y_2}} \right)\), do  \(A,B \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y_1} =  - 3{x_1} + m\\{y_2} =  - 3{x_2} + m\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow {y_1} + {y_2} =  - 3\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2m =  - 3.\frac{{m + 1}}{3} + 2m = m - 1\)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác OAB: \(G\left( {\frac{{{x_1} + {x_2} + 0}}{3};\frac{{{y_1} + {y_2} + 0}}{3}} \right)\) hay  \(G\left( {\frac{{m + 1}}{9};\frac{{m - 1}}{3}} \right)\)

Do  \(G \in \Delta \,:\,x\, - \,2y\, - \,2\, = \,0 \Rightarrow \frac{{m + 1}}{9} - 2.\frac{{m - 1}}{3} - 2 = 0 \Leftrightarrow m + 1 - 6m + 6 - 18 = 0 \Leftrightarrow m =  - \frac{{11}}{5}\)

\( \Rightarrow a = 11;\,\,b = 5 \Rightarrow a + 2b = 21\).

Chọn D.