ADMICRO
VIDEO
  • Câu hỏi:

    Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và \(AB' \bot BC'\). Tinh thể tích V của khối lăng trụ đã cho

    • A. \(V = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\)
    • B. \(V = \frac{{7{a^3}}}{8}\)
    • C. \(V = {a^3}\sqrt 6 \)
    • D. \(V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}\)

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: A

    Gọi M là trung điểm của A’B’ ta có

    \(\left\{ \begin{array}{l}
    C'M \bot A'B'\\
    C'M \bot AA'
    \end{array} \right. \Rightarrow C'M \bot \left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow C'M \bot AB'\) 

    \(\left\{ \begin{array}{l}
    BC' \bot AB'\\
    C'M \bot AB'
    \end{array} \right. \Rightarrow AB' \bot \left( {BC'M} \right) \Rightarrow AB' \bot BM\) 

    Gọi \(K = AB' \cap CM\) 

    Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

    \(\frac{{B'K}}{{AK}} = \frac{{MB'}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow B'K = \frac{1}{2}AK \Rightarrow B'K = \frac{{AB'}}{3}\) 

    Đặt \(AA' = BB' = CC' = DD' = h\) 

    Ta có: \(BM = \sqrt {{h^2} + \frac{{{a^4}}}{4}} ;\,\,AB' = \sqrt {{a^2} + {h^2}}  \Rightarrow B'K = \frac{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}{3}\) 

    Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuong BB’M ta có:

    \(\begin{array}{l}
    B'K.BM = BB'.B'M \Leftrightarrow \frac{1}{3}\sqrt {{a^2} + {h^2}} .\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = h.\frac{a}{2}\\
     \Leftrightarrow 2\sqrt {{a^2} + {h^2}} .\sqrt {{h^2} + \frac{{{a^2}}}{4}}  = 3ah \Leftrightarrow \left( {{a^2} + {h^2}} \right)\left( {4{h^2} + {a^2}} \right) = 9{a^2}{h^2}\\
     \Leftrightarrow 4{a^2}{h^2} + {a^4} + 4{h^4} + {a^2}{h^2} = 9{a^2}{h^2} \Leftrightarrow {a^4} - 4{a^2}{h^2} + 4{h^4} = 0\\
     \Leftrightarrow {\left( {{a^2} - 2{h^2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow a = \sqrt 2 h \Leftrightarrow h = \frac{a}{{\sqrt 2 }}
    \end{array}\) 

    Tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}} = \frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 6 }}{4}\)  

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 66362

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ADMICRO

 

YOMEDIA
ON