Cho hình lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 450 . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Câu hỏi:
Cho hình lăng trụ ABCD. A’B’C’D’ có đáy là hình vuông cạnh a, hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm của cạnh AB, góc giữa A’C và mặt phẳng (ABCD) bằng 45⁰ . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
- A. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{2}\) .
- B. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{{12}}\).
- C. \(\dfrac{{\sqrt 5 {a^3}}}{6}\) .
- D. \(\dfrac{{3\sqrt 5 {a^3}}}{2}\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB.\)

Khi đó ta có: \(A'H \bot \left( {ABCD} \right).\)

\( \Rightarrow H'C\) là hình chiếu của \(A'C\) trên \(\left( {ABCD} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {A'C,\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {A'C,\,HC} \right) = \angle HCA' = {45^0}\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta HBC\) vuông tại \(B\) ta có:

\(\begin{array}{l}HC = \sqrt {H{B^2} + B{C^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + {a^2}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow A'H = HC.\tan {45^0} = HC = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = A'H.{S_{ABCD}} = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 5 }}{2}.\end{array}\)

Chọn A.

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE