Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(A'B\) vuông góc với mặt phẳng đáy \(\left( {ABCD} \right)\); góc của \(AA'\) với \(\left( {ABCD} \right)\)bằng \({45^0}\). Khoảng cách từ \(A\) đến các đường thẳng \(BB'\) và \(DD'\) bằng \(1\). Góc của mặt \(\left( {BCC'B'} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {CC'D'D} \right)\) bẳng \({60^0}\). Thể tích khối hộp đã cho là:

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên đường thẳng BB’ và DD’. Theo đề bài, ta có: \(AH = AK = 1\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}\widehat {\left( {\left( {BB'C'C} \right);\left( {CC'D'D} \right)} \right)} = \widehat {\left( {\left( {ABB'A'} \right);\left( {ADD'A'} \right)} \right)} = {60^0}\\ \Rightarrow \widehat {HAK} = {60^0}\end{array}\)

(do \(\left( {AHK} \right) \bot AA',\,\,AA' = \left( {ABB'A'} \right) \cap \left( {ADD'A'} \right)\))

Ta có: \(AH \bot BB',\,\,BB'//AA' \Rightarrow AH \bot AA'\).

Mà \(\widehat {BAA'} = {45^0} \Rightarrow \widehat {HAB} = {45^0} \Rightarrow AB = AH.\sqrt 2  = \sqrt 2 \)

 \( \Rightarrow A'B = AB = \sqrt 2 \)

Kẻ \(KI \bot AH\) tại I. Ta có: \(AA' \bot \left( {AKH} \right) \Rightarrow \left( {AA'B'H} \right) \bot \left( {AKH} \right)\).

Mà \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AA'B'H} \right) \cap \left( {AKH} \right) = AH\\IK \subset \left( {AKH} \right)\\IK \bot AH\end{array} \right. \Rightarrow IK \bot \left( {AA'B'H} \right) \Rightarrow d\left( {K;\left( {AA'B'H} \right)} \right) = IK\)

\( \Rightarrow d\left( {D;\left( {AA'B'H} \right)} \right) = d\left( {K;\left( {AA'B'H} \right)} \right) = IK\) (do \(DK//\left( {AA'B'H} \right)\))

\(\Delta AHK\) có \(\widehat {HAK} = {60^0}\), \(AH = AK = 1 \Rightarrow IK = \dfrac{{1.\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\({V_{D.AA'B}} = \dfrac{1}{3}.IK.{S_{AA'B}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}.\sqrt 2 .\sqrt 2  = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) \( \Rightarrow V = 6.\dfrac{{\sqrt 3 }}{6} = \sqrt 3 \).

Chọn: C