Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Biết , . Tính khoảng cách từ điểm SM tới đường thẳng BC (minh hoạ như hình bên) .

Câu hỏi:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Biết \(SA = a,\;SN = \frac{{a\sqrt 7 }}{2}\), \(\widehat {SCA} = {45^0}\). Tính khoảng cách từ điểm SM tới đường thẳng BC (minh hoạ như hình bên) .
- A. \(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)
- B. \(\frac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
- C. \(\frac{a}{2}\)
- D. \(\frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: A

Dễ dàng chứng minh \(\Delta SAC\) và \(\Delta SAN\) vuông tại A suy ra \(SA \bot \left( {ABC} \right)\)

Gọi P là trung điểm của AC suy ra BC // (SMP).

Do đó: \(d\left( {BC,SM} \right) = d\left( {BC,\left( {SMN} \right)} \right) = d\left( {B,\left( {SMP} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SMP} \right)} \right)\).

Ta có: \(AN \bot MP\) lại có \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(MP \subset \left( {ABC} \right)\) nên suy ra \(MP \bot \left( {SA0} \right)\).

Dẫn đến . Gọi là hình chiếu của trên ta suy ra

Vậy \(d\left( {A,\left( {SMP} \right)} \right) = AH\).

Xét \(\Delta SAO\) vuông tại A nên ta có \(AH = \frac{{SA.AO}}{{\sqrt {S{A^2} + S{H^2}} }} = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\)

Như vậy \(d\left( {BC,SM} \right) = \frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ATNETWORK