Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là chữ nhật biết AB=a,BC=3a và \(SB=2a\sqrt{2}\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là điểm H thuộc cạnh AD sao cho AH=2HD (tham khảo hình vẽ).Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\)

Vì hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) là điểm H nên \(SH\bot \left( ABCD \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & AB\,\,//\,CD \\ & CD\subset \left( SCD \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow AB\,//\,\left( SCD \right)\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=d\left( A,\left( SCD \right) \right)=3d\left( H,\left( SCD \right) \right)\)

Kẻ \(HK\bot SD\,\,\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & CD\bot SH \\ & CD\bot AD \\ \end{align} \right.\Rightarrow CD\bot \left( SAD \right)\Rightarrow CD\bot HK\,\,(2)\)

Từ (1),(2) \(\Rightarrow HK\bot \left( SCD \right)\Rightarrow d\left( H,\left( SCD \right) \right)=HK\Rightarrow d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3HK\)

Xét  \(\Delta AHB\) vuông tại A có: \(BH=\sqrt{A{{B}^{2}}+A{{H}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( 2a \right)}^{2}}}=a\sqrt{5}\)

Xét  \(\Delta SHB\) vuông tại H có: \(SH=\sqrt{S{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2a\sqrt{2} \right)}^{2}}-{{\left( a\sqrt{5} \right)}^{2}}}=a\sqrt{3}\)

Xét  \(\Delta SHK\) vuông tại H có: \(\frac{1}{H{{K}^{2}}}=\frac{1}{S{{H}^{2}}}+\frac{1}{H{{D}^{2}}}=\frac{1}{{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}}+\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{4}{3{{a}^{2}}}\Rightarrow HK=\frac{a\sqrt{3}}{2}\)

Vậy \(d\left( B,\left( SCD \right) \right)=3.\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{3a\sqrt{3}}{2}\)