Cho các số phức \(z,{{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thay đổi thỏa mãn các điều kiện sau: \(\left| iz+2i+4 \right|=3\), phần thực của \({{z}_{1}}\) bằng 2, phần ảo của \({{z}_{2}}\) bằng 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}\)

Đặt \(z=x+yi,x,y\in \mathbb{R}\), ta có \(M\left( z \right)=M\left( x;y \right)\)

Khi đó: \(\left| iz+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| i\left( x+yi \right)+2i+4 \right|=3\Leftrightarrow \left| \left( -y+4 \right)+\left( x+2 \right)i \right|=3\)

\(\Leftrightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}+{{\left( y-4 \right)}^{2}}=9\)

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn \(\left( C \right)\) tâm \(I\left( -2;4 \right)\), bán kính R=3.

Mặt khác: \({{z}_{1}}=2+bi\Rightarrow A\left( {{z}_{1}} \right)=A\left( 2;b \right)\Rightarrow \) Tập hợp điểm A là đường thẳng \({{d}_{1}}:\ \ x=2.\)

\({{z}_{2}}=a+i\Rightarrow B\left( {{z}_{2}} \right)=B\left( a;1 \right)\Rightarrow \) Tập hợp điểm B là đường thẳng \({{d}_{2}}:\ \ y=1.\)

Giao điểm của \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(P\left( 2;\ 1 \right)\).

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}.\)

Ta có: \(T={{\left| z-{{z}_{1}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{2}} \right|}^{2}}=M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}\ge M{{H}^{2}}+M{{K}^{2}}=M{{P}^{2}}\).

T đạt giá trị nhỏ nhất khi \(A\equiv H,B\equiv K\) và I,M,P thẳng hàng (theo thứ tự đó).

Phương trình đường thẳng \(IP:\left\{ \begin{align} & x=2+4t \\ & y=1-3t \\ \end{align} \right.\Rightarrow M\left( 2+4t;1-3t \right)\) (vì \(M\in IP\)).

Mà \(M\in \left( C \right)\) nên ta có \({{\left( 4+4t \right)}^{2}}+{{\left( -3-3t \right)}^{2}}=9\Leftrightarrow {{\left( 1+t \right)}^{2}}=\frac{9}{25}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=-\frac{2}{5} \\ & t=-\frac{8}{5} \\ \end{align} \right.\)

- Với \(t=-\frac{8}{5}\Rightarrow M\left( -\frac{22}{5};\frac{29}{5} \right)\) (loại)

- Với \(t=-\frac{2}{5}\Rightarrow M\left( \frac{2}{5};\frac{11}{5} \right)\Rightarrow z=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i\Rightarrow {{z}_{1}}=2+\frac{11}{5}i,{{z}_{2}}=\frac{2}{5}+i.\)

Suy ra \(M{{P}_{\min }}=IP-IM=IP-R=\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}-3=2\).

Vậy \({{T}_{\min }}={{2}^{2}}=4\) khi \(z=\frac{2}{5}+\frac{11}{5}i,\ {{z}_{1}}=2+\frac{11}{5}i,\ {{z}_{2}}=\frac{2}{5}+i.\)