Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x+y-4z=0\), đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{-1}=\frac{z-3}{1}\) và điểm \(A\left( 1;\,\,3;\,\,1 \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đường thẳng d một khoảng cách lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow{u}=\left( a;\,\,b;\,\,1 \right)\) là một véc tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Tính a+2b.

Đường thẳng d đi qua \(M\left( 1;\,\,-1;\,\,3 \right)\) và có véc tơ chỉ phương \(\overrightarrow{{{u}_{1}}}=\left( 2;\,\,-1;\,\,1 \right)\).

Nhận xét rằng, \(A\notin d\) và \(d\cap \left( P \right)=I\left( -7;\,\,3;\,\,-1 \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa d và song song với \(\Delta \). Khi đó \(d\left( \Delta ,d \right)=d\left( \Delta ,\left( Q \right) \right)=d\left( A,\left( Q \right) \right)\)

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên \(\left( Q \right)\) và d. Ta có \(AH\le AK\).

Do đó, \(d\left( \Delta ,d \right)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow  d\left( A,\left( Q \right) \right)\) lớn nhất \(\Leftrightarrow A{{H}_{\max }} \Leftrightarrow H\equiv K\). Suy ra \(AH\equiv AK\) chính là đoạn vuông góc chung của d và \(\Delta .\)

Mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa A và d có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}}=\left[ \overrightarrow{AM},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right] =\left( -2;\,\,4;\,\,8 \right)\).

Mặt phẳng \(\left( Q \right)\) chứa d và vuông góc với \(\left( R \right)\) nên có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( R \right)}}},\overrightarrow{{{u}_{1}}} \right]=\left( 12;\,\,18;\,\,-6 \right)\Rightarrow \left( 2;3;-1 \right)\).

Đường thẳng \(\Delta \) chứa trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}},\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 11;\,\,-7;\,\,1 \right)\).

Suy ra, \(a=11;\,\,b=-7\). Vậy a+2b=-3.