Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên dưới. Tích tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình \({{36.12}^{f\left( x \right)}}+\left( {{m}^{2}}-5m \right){{.4}^{f\left( x \right)}}\le \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-4 \right){{.36}^{f\left( x \right)}}\) nghiệm đúng với mọi số thực x là

Từ đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) ta thấy miền giá trị của \(f\left( x \right)\) là \(\left( -\infty ;-2 \right]\).

Đặt \(t=f\left( x \right)\), với \(t\le -2\).

Do đó bất phương trình \({{36.12}^{f\left( x \right)}}+\left( {{m}^{2}}-5m \right){{.4}^{f\left( x \right)}}\le \left( {{f}^{2}}\left( x \right)-4 \right){{.36}^{f\left( x \right)}}\quad \left( 1 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(x\in \mathbb{R}\) khi và chỉ khi bất phương trình \({{36.12}^{t}}+\left( {{m}^{2}}-5m \right){{.4}^{t}}\le \left( {{t}^{2}}-4 \right){{.36}^{t}}\quad \left( 2 \right)\) nghiệm đúng với mọi \(t\le -2\).

Ta có: \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2t}}+36.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\le \left( {{t}^{2}}-4 \right),\forall t\le -2\).

Do \(\left( 2 \right)\) đúng với t=-2 nên \(81.\left( {{m}^{2}}-5m \right)+36.9\le 0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4\le 0\Leftrightarrow 1\le m\le 4\)

Ta thấy với \(1\le m\le 4\) thì \(-\frac{25}{4}\le {{m}^{2}}-5m\le -4\).

Lại có: \(t\le -2\Rightarrow {{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\ge 9\). Suy ra \(\left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\le -4.9=-36\) do đó \(\left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{2t}}+36.{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}={{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}\left( \left( {{m}^{2}}-5m \right).{{\left( \frac{1}{3} \right)}^{t}}+36 \right)\le 0 ,\forall t\le -2\).

Mà \({{t}^{2}}-4\ge 0,\,\forall t\le -2\).

Từ và suy ra đúng.

Với \(m\in \left[ 1;4 \right]\) thì \(\left( 2 \right)\) luôn đúng với mọi \(t\le -2\) và \(m\in \mathbb{Z}\) suy ra \(m\in \left\{ 1;2;3;4 \right\}\).

Vậy tích các giá trị bằng 24.