Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ bên. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình \(f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;\,2 \right]\)?

+ Từ đồ thị hàm số y = f(x) ta có:

\(f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) - 4 = 0 \Leftrightarrow f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right) = 4\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} + m = 0\\ {x^3} - 3{x^2} + m = 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^3} - 3{x^2} = - m\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ {x^3} - 3{x^2} = 3 - m\,\,\,\,\left( 2 \right) \end{array} \right.\)

+ Xét hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2}\) trên đoạn \(\left[ { - 1;\,2} \right]\).

* \(y' = 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \in \left[ { - 1;\,2} \right]\\ x = 2 \in \left[ { - 1;\,2} \right] \end{array} \right..\)

* Bảng biến thiên

+ Phương trình \(f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;\,2 \right]\) khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) hoặc phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;\,2 \right]\).

Từ bảng biến thiên của hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}\) ta có:

* Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm \(x\in \left[ -1;\,2 \right]\) khi và chỉ khi \(-4\le -m\le 0\Leftrightarrow 0\le m\le 4\left( 3 \right)\).

* Phương trình \(\left( 2 \right)\) có nghiệm \(x\in \left[ -1;\,2 \right]\) khi và chỉ khi \(-4\le 3-m\le 0\Leftrightarrow 3\le m\le 7\left( 4 \right)\).

+ Từ \(\left( 3 \right)\) và \(\left( 4 \right)\) suy ra phương trình \(f\left( {{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+m \right)-4=0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1;\,2 \right]\) khi và chỉ khi \(0\le m\le 7\), mặt khác m nguyên nên có 8 giá trị m thỏa mãn bài toán.