Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ \), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SCB \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Thể tích của khối chóp S.ABC bằng

Xét \(\Delta SAB\) và \(\,\Delta SCB\) có: \(\widehat{SAB}=\widehat{SCB}=90{}^\circ ;\,AB=BC\), cạnh SB chung nên \(\Delta SAB=\Delta SCB\) Trong tam giác SAB kẻ đường cao \(AE\bot SB\) khi đó \(CE\bot SB\).

Khi đó \(\left( \widehat{\left( SAB \right)\,,\,\left( SBC \right)} \right)=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ \).

Trường hợp \(\widehat{AEC}=\left( \widehat{AE,CE} \right)=60{}^\circ \) thì AE=AC=AB=a điều này vô lí vì tam giác AEB vuông tại E suy ra \(\widehat{AEC}=180{}^\circ -\left( \widehat{AE,CE} \right)=120{}^\circ \)

Trong tam giác AEC cân tại E kẻ đường cao EK, ta có \(\widehat{EAK}=30{}^\circ\)

Xét tam giác vuông AEK ta có: \(AE=\frac{AK}{cos30{}^\circ }=\frac{\sqrt{3}}{3}a\).

Trong tam giác vuông ABE ta có \(BE=\sqrt{A{{B}^{2}}-A{{E}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}a\)

Trong tam giác SAB có: \(BS=\frac{A{{B}^{2}}}{BE}=\frac{a\sqrt{6}}{2}\).

\({{V}_{B.EAC}}=\frac{1}{3}.BE.\frac{1}{2}.EA.EC.\sin 120{}^\circ =\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{3}.\frac{1}{2}.{{\left( \frac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{2}{{a}^{3}}}{36}\).

\(\frac{{{V}_{B.EAC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{BE}{BS}.\frac{BA}{BA}.\frac{BC}{BC}=\frac{BE}{BS}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}}=\frac{2}{3}\).

\(\Rightarrow {{V}_{B.SAC}}=\frac{3}{2}.{{V}_{B.EAC}}=\frac{3}{2}.\frac{\sqrt{2}}{36}{{a}^{3}}=\frac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}\).

Vậy \({{V}_{S.ABC}}=\frac{\sqrt{2}}{24}{{a}^{3}}\).