Cho hàm số \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| + \mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| = 21\). Tổng tất cả các phần tử của S là

Hàm số \(f(x) = {x^3} - 3{x^2} - 9x + m\) liên tục trên đoạn \(\left[ { - 2;2} \right]\).

Ta có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x - 9\) với \(x \in [ - 2;2]\).

  \( \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x - 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - 1\\ x = 3 \end{array} \right.\), do \(x \in [ - 2;2]\) nên ta chỉ lấy nghiệm \(x = - 1\)

\(f\left( { - 2} \right) = m - 2;\,\,f\left( { - 1} \right) = m + 5;\,\,f\left( 2 \right) = m - 22\).

Suy ra \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = m + 5;\,\,\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = m - 22\)

Trường hợp 1: Nếu  \(\left( {m + 5} \right)\left( {m - 22} \right) \le 0 \Leftrightarrow - 5 \le m \le 22\)

Ta có \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| = \max \left\{ {\left| {m - 22} \right|;\left| {m + 5} \right|} \right\}\).

+) Nếu  \(\left| {m - 22} \right| \ge \left| {m + 5} \right|\) thì  \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| = \left| {m - 22} \right|\)

Theo bài ra ta có \(\left| {m - 22} \right| = 21 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 43\\ m = 1 \end{array} \right.\). Đối chiếu điều kiện, ta được m=1.

+) Nếu  \(\left| {m - 22} \right| \le \left| {m + 5} \right|\) thì \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} |f(x)| = \left| {m + 5} \right|\) 

Theo bài ra ta có \(\left| {m + 5} \right| = 21 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = 16\\ m = - 26 \end{array} \right.\). Đối chiếu điều kiện, ta được m=16.

Trường hợp 2: Nếu \(\left( {m + 5} \right)\left( {m - 22} \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 5\\ m > 22 \end{array} \right.\)

Từ giả thiết \(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;1]} |f(x)| + \mathop {\min }\limits_{[ - 2;1]} |f(x)| = 21\), ta có \(|m + 5| + \left| {m - 22} \right| = 21\).

Với  m>22, suy ra \(m + 5 + m - 22 = 21 \Leftrightarrow m = 19\) (loại).

Với m<-5, suy ra \( - m - 5 - m + 22 = 21 \Leftrightarrow m = - 3\)(loại).

Suy ra S={1;16}. Vậy tổng các phần tử của S là 17.