Cho hai số phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\,\,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\). Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là

Giả sử \({{z}_{1}}={{a}_{1}}+{{b}_{1}}i\,\left( {{a}_{1}},\,{{b}_{1}}\in \mathbb{R} \right)\), \({{z}_{2}}={{a}_{2}}+{{b}_{2}}i\,\left( {{a}_{2}},\,{{b}_{2}}\in \mathbb{R} \right)\).

Ta có

\(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5\) \(\Leftrightarrow {{\left( {{a}_{1}}+5 \right)}^{2}}+{{b}_{1}}^{2}=25\). Do đó, tập hợp các điểm A biểu diễn cho số phức \({{z}_{1}}\) là đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25\) có tâm là điểm \(I\left( -5;\,0 \right)\) và bán kính \(R=5\)

\(\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\)\(\Leftrightarrow {{\left( {{a}_{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{a}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{b}_{2}}-6 \right)}^{2}}\)

\(\Leftrightarrow 8{{a}_{2}}+6{{b}_{2}}-35=0\). Do đó tập hợp các điểm B biểu diễn cho số phức \({{z}_{2}}\) là đường thẳng \(\Delta :8x+6y-35=0\)

Khi đó, ta có \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|=AB\).

Suy ra \({{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=A{{B}_{\min }}\) \(=d\left( I;\,\Delta  \right)-R\) \(=\frac{\left| 8.\left( -5 \right)+6.0-35 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}-5\) \(=\frac{5}{2}\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là \(\frac{5}{2}\).