Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C, D lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}=-1+i\), \({{z}_{2}}=1+2i\), \({{z}_{3}}=2-i\), \({{z}_{4}}=-3i\). Gọi S là diện tích tứ giác \(ABCD\). Tính S

Ta có \({{z}_{1}}=-1+i\Rightarrow A\left( -1;1 \right)\), \({{z}_{2}}=1+2i\Rightarrow B\left( 1;2 \right)\), \({{z}_{3}}=2-i\Rightarrow C\left( 2;-1 \right)\), \({{z}_{4}}=-3i\Rightarrow D\left( 0;-3 \right)\)

\(\overrightarrow{AC}=\left( 3;-2 \right)\Rightarrow \)\(AC=\sqrt{13}\), \(\overrightarrow{n}=\left( 2;3 \right)\) là véc tơ pháp tuyến của AC, phương trình AC: \(2\left( x+1 \right)+3\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow 2x+3y-1=0\).

Khoảng cách từ B đến AC là: \(d\left( B;AC \right)=\frac{\left| 2+3.2-1 \right|}{\sqrt{13}}=\frac{7}{\sqrt{13}}\Rightarrow \)\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}d\left( B;AC \right).AC=\frac{1}{2}.\sqrt{13}.\frac{7}{\sqrt{13}}=\frac{7}{2}\).

Khoảng cách từ \(D\) đến \(AC\) là: \(d\left( D;AC \right)=\frac{\left| 0-9-1 \right|}{\sqrt{13}}=\frac{10}{\sqrt{13}}\)

\(\Rightarrow \)\({{S}_{\Delta ADC}}=\frac{1}{2}.d\left( D;AC \right).AC=\frac{1}{2}.\frac{10}{\sqrt{13}}.\sqrt{13}=5\).

Vậy \(S={{S}_{\Delta ABC}}+{{S}_{\Delta ADC}}=\frac{7}{2}+5=\frac{17}{2}\).