YOMEDIA
  • Câu hỏi:

    Cho đường tròn (O; R) với dây cung AB không đi qua tâm. Lấy S là một điểm bất kì trên tia đối của  tia  AB  (S khác A).  Từ điểm S vẽ hai tiếp tuyến SCSD với đường tròn (O; R) sao cho điểm C nằm trên cung nhỏ AB (C, D là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB.

    1) Chứng minh năm điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

    2) Khi SO = 2R, hãy tính độ dài đoạn thẳng SD theo R và tính số đo \(\widehat {CSD}\)

    3) Đường thẳng đi qua điểm A và song song với đường thẳng SC, cắt đoạn thẳng CD tại điểm K. Chứng minh tứ giác ADHK là tứ giác nội tiếp và đường thẳng BK đi qua trung điểm của đoạn thẳng SC.

    4) Gọi E là trung điểm của đoạn thẳng BD và F là hình chiếu vuông góc của điểm E trên đường thẳng AD. Chứng minh rằng, khi điểm S thay đổi trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn thuộc một đường tròn cố định.

    Lời giải tham khảo:

    1) Xét đường tròn (O;R) có:

    \(SC\bot OC\) (SC là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) \( \Rightarrow SCO = {90^0}\) )

    \(SD\bot OD\) (SD là tiếp tuyến của đường tròn (O;R) \( \Rightarrow SDO = {90^0}\) )

    H là trung điểm đoạn thẳng AB \( \Rightarrow OH \bot AB\) (Tính chất đường kính đi qua trung điểm của dây cung) \( \Rightarrow SHO = {90^0}\)

    Xét tứ giác SCOD có:

    - \(SCO+SDO=180^0\) (cmt)

    - SCO và SDO là hai góc đối nhau

    Suy ra SCOD là tứ giác nội tiếp 

    Có \(\Delta SCO\) và \(\Delta SDO\) vuông tại C và D, có SO là cạnh huyền chung

    Suy ra tứ giác SCOD thuộc đường tròn đường kính SO (1)

    Xét tứ giác SCHO có:

    - \(SCO=SHO=90^0\)

    Mà 2 đỉnh S và h kề nhau cùng nhìn cạnh SO dưới 1 góc bằng nhau nên tứ giác SCHO thuộc đường tròn đường kính SO (2)

    Từ (1), (2) suy ra 5 điểm C, D, H, O, S thuộc đường tròn đường kính SO.

    2) Ta có OD = R; SO = 2R

    Do đó, \(SD = \sqrt {S{O^2} - O{D^2}}  = \sqrt {4{R^2} - {R^2}}  = R\sqrt 3 \)

    Và ta có OSD = 300 (Cạnh đối diện bằng nửa cạnh huyền)

    Tương tự, ta có SC = SD = \(R\sqrt 3 \); OSC = 300.

    Do đó, tam giác SCD cân và có CSD = 600

    Suy ra tam giác SCD đều nên \(SCD=60^0\)

    3) Ta có AK // SC nên AKD = SCD = \(\frac{1}{2}\) cung SD của đường tròn đường kính SO.

    Ta có SHD = \(\frac{1}{2}\) cung SD của đường tròn đường kính SO.

    => AKD = AHD => Tứ giác ADHK nội tiếp.

    Gọi \(\left\{ \begin{array}{l}
    BK \cap SC = \left\{ T \right\}\\
    AK \cap BC = \left\{ P \right\}
    \end{array} \right.\)

    Ta có: DAKH nội tiếp suy ra AHK = DAC

    Mà \(DAC = ABC = \frac{1}{2}AC\)

    \( \Rightarrow AHK = BAC\)

    \( \Rightarrow HK//BC\) (2 góc đồng vị)

    Xét \(\Delta ABP\) suy ra K là trung điểm của AP

    \( \Rightarrow \frac{{AK}}{{ST}} = \frac{{HK}}{{TD}} \Rightarrow T\) là trung điểm của đoạn thẳng SC (đpcm)

    4)

    Ta có OA = OB nên \(\Delta OAB\) cân đỉnh O

    Có OH là trung tuyến, đồng thời là phân giác của \(\Delta OAB\) nên \(BOH = \frac{1}{2}AOB\)

    Hay \(BOH = \frac{1}{2}sdAB\)

    Ta có \(BDA = \frac{1}{2}sdAB\) (góc nội tiếp chắn cung AB)

    Suy ra BOH = BDA Hay BOH = EDF

    Xét \(\Delta OHB\) và \(\Delta DFE\) có:

    \(OHB=DEF=90^0; BOD=EDF\) (cmt)

    Suy ra \(\Delta OHB\) đồng dạng \(\Delta DFE\) (g-g)

    Nên ta có: \(\frac{{OH}}{{HB}} = \frac{{DF}}{{FE}}\left( 1 \right)\)

    Gọi G là hình chiếu vuông góc của B trên AD, suy ra \(BG\bot AD\)

    Khi đó, \(\Delta BDG\) có FE // BG (cùng vuông góc với AD) nên 

    Suy ra F là trung điểm của DG và \(\frac{{DF}}{{FE}} = \frac{{DG}}{{BG}}\left( 2 \right)\)

    Gọi M là trung điểm của ỌH

    Từ (1) và (2) ta có \(\frac{{OH}}{{HB}} = \frac{{DG}}{{BG}}\) hay \(\frac{{2MH}}{{HB}} = \frac{{2FG}}{{BG}} \Leftrightarrow \frac{{MH}}{{HB}} = \frac{{FG}}{{BG}}\)

    Xét \(\Delta BHM\) và \(\Delta BGF\) có:

    \(BHM=BGF=90^0\)

    \(\frac{{MH}}{{HB}} = \frac{{FG}}{{BG}}\) (cmt)

    Suy ra \(\Delta BHM\) đồng dạng \(\Delta BGF\) (c-g-c)

    Do đó, ta có \(GFB=HMB\) (các góc tương ứng)

    Hay \(AFB=HMB\) (3)

    Xét đường tròn (O) có A, B, O, H là các điểm cố định

    Có M là trung điểm của OH nên M cố định

    Suy ra \(BMH = \alpha \) không đổi

    Nên từ (3), suy ra AFB có số đo không đổi, hay điểm F luôn nhìn đoạn AB dưới góc không đổi \(\alpha\). Vậy \(\Delta BHM\) nằm trên cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn AB.

    Do đó, khi điểm S di động trên tia đối của tia AB thì điểm F luôn nằm trên đường tròn cố định là cung chứa góc \(\alpha\) dựng trên đoạn AB.

    RANDOM

Mã câu hỏi: 91231

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

 

YOMEDIA