Cho các số thực $a,\,\,b,\,\,c,\,\,d$ thỏa mãn 0

Dựa vào đồ thị của hàm số $y={f}'\left( x \right)$ ta có bảng biến thiên của hàm $y=f\left( x \right)$

Dựa vào bảng biến thiên ta có $M=\max \left\{ f\left( 0 \right),\,\,f\left( b \right),\,\,f\left( d \right) \right\},m=\min \left\{ f\left( a \right),\,\,f\left( c \right) \right\}$

Gọi ${{S}_{1}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=0,\,\,x=a.$

Gọi ${{S}_{2}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a,\,\,x=b.$

Gọi ${{S}_{3}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=b,\,\,x=c.$

Gọi ${{S}_{4}}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f\left( x \right)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=c,\,\,x=d$

Dựa vào hình vẽ ta có;

${{S}_{1}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{a}^{0}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( 0 \right)-f\left( a \right)>f\left( b \right)-f\left( a \right)\Leftrightarrow f\left( 0 \right)>f\left( b \right)$.

${{S}_{3}}>{{S}_{4}}\Leftrightarrow \int\limits_{c}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{c}^{d}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( b \right)-f\left( c \right)>f\left( d \right)-f\left( c \right)\Leftrightarrow f\left( b \right)>f\left( d \right).$

Suy ra $M=f\left( 0 \right)$.

${{S}_{3}}>{{S}_{2}}\Leftrightarrow \int\limits_{c}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x>\int\limits_{a}^{b}{{f}'\left( x \right)}\,\text{d}x\Leftrightarrow f\left( b \right)-f\left( c \right)>f\left( b \right)-f\left( a \right)\Leftrightarrow f\left( c \right)<f\left( a \right).$

Suy ra $m=f\left( c \right)$

Vậy $M+m=f\left( 0 \right)+f\left( c \right)$