Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ -10\,;\,10 \right]\) để bất phương trình \({{\log }_{3}}\frac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m\) có nghiệm. Số phần tử của tập hợp S bằng

Điều kiện xác định \(\frac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}>0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1>0\).

Ta có \({{\log }_{3}}\frac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}\ge 2{{x}^{2}}+4x+5-2m \Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{{{x}^{2}}+x+1}-1\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\frac{2{{x}^{2}}+x+m+1}{3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)}\ge 2{{x}^{2}}+4x+4-2m\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)\,\,-\,\,{{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \ge \,\,-2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right)+6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\)

\(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right) +\,2\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right) \ge \,\,{{\log }_{3}}3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) +6\left( {{x}^{2}}+x+1 \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{\log }_{3}}t\,+2t\) với t>0.

Ta có: \({f}'\left( t \right)=\frac{1}{t.\ln 3}\,\,+\,\,2>0,\forall t>0\). Suy ra hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( 0\,;\,+\infty  \right)\)

Do đó tương đương với

\(f\left( 2{{x}^{2}}+x+m+1 \right) \ge \,\,f\left( 3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right) \right) \Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x+m+1 \ge \,\,3\left( {{x}^{2}}+x+1 \right))\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{2}}+2x+2\le m\)

BPT \({{x}^{2}}+2x+2\le m\) có nghiệm \(\Leftrightarrow m\ge \text{min}\,g\left( x \right)\) với \(g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2\).

Xét hàm số \(g\left( x \right)={{x}^{2}}+2x+2\) với \(x\in \mathbb{R}\) có \({g}'\left( x \right)=2x+2\)

\({g}'\left( x \right)=0 \Leftrightarrow 2x+2=0 \Leftrightarrow x=-1\)

 Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên suy ra \(\min \,g\left( x \right)=1\).

Do đó \(m\ge 1\)

Vì \(m\in \left[ -10;\,10 \right]\) nên tập \(S=\left\{ 1;2;...;10 \right\}\)

Vậy S có 10 phần tử.