RANDOM
  • Câu hỏi:

    1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng PD.

    a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH

    b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.

    2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng \(\frac{{HB}}{{HC}}\,\, + \,\,\frac{{MB}}{{MC}}\, \ge \,\,2\frac{{AB}}{{AC}}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

    Lời giải tham khảo:

    1. 

    a) 

    Ta có AD \( \bot \) BC tại D (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

    \(\widehat {ANM}\,\, = \,\,\widehat {APM}\,\, = \,\,{90^0}\) nên AMNP là tứ giác nội tiếp  (1)

    \(\widehat {NAP}\,\, = \,\,\widehat {NHP}\,\, = \,\,{90^0}\) nên NAPH là tứ giác nội tiếp  (2)

    Từ (1) và (2) suy ra N, A, P, H, M cùng thuộc một đường tròn

    \( \Rightarrow \,\,\widehat {AMH}\,\, + \,\,\widehat {APH}\,\, = \,\,{180^0}\) và \(\widehat {ANM}\,\, = \,\,\widehat {APM}\,\, = \,\,{90^0}\) nên

    AMNP là tứ giác nội tiếp  (1)

    Ta có \(\widehat {APC}\,\, = \,\,\widehat {MDC}\,\, = \,\,{90^0}\) nên MPCD là tứ giác nội tiếp 

    Suy ra \(\widehat {{P_1}} = \,\,\widehat {{C_1}}\) mà \(\widehat {{C_1}} = \,\,\widehat {MBD}\) (vì AD là trung trực của BC)

    \( \Rightarrow \,\,\widehat {MBD}\,\, = \,\,\widehat {{P_1}}\) 

    Ta có \(\widehat {AMB}\,\, = \,\,\widehat {ADB}\,\, + \,\,\widehat {MBD}\,\, = \,\,{90^0}\,\, + \,\,\widehat {MBD}\) mà \(\widehat {MBD}\,\, = \,\,\widehat {{P_1}}\) 

    Suy ra \(\widehat {AMB}\,\, = \,\,{90^0}\,\, + \,\,\widehat {{P_1}} = \,\,\widehat {APM}\,\, + \,\,\widehat {{P_1}} = \,\,\widehat {APH} \Rightarrow \,\,\widehat {AMB}\,\, + \,\,\widehat {AMH}\,\, = \,\,\widehat {APH}\,\, + \,\,\widehat {AMH}\,\, = \,\,{180^0}\) 

    Do đó B, M, H thẳng hàng => AH \( \bot \) BH

    b) Ta có \(\widehat {IBA}\,\, = \,\,\widehat {BAD}\,\, = \,\,{45^0}\) (vì BI // AD)

    Tam giác ADB vuông tại D có DI là trung trực nên DI là phân giác góc ADB

    \( \Rightarrow \,\,\widehat {ADI}\,\, = \,\,\widehat {BDI}\,\, = \,\,{45^0}\). Do đó \(\widehat {IBA}\,\, = \,\,\widehat {IDA}\,\,\left( { = \,\,{{45}^0}} \right) \Rightarrow \) A, I, B, D cùng thuộc một đường tròn  (3)

    Ta có \(\widehat {AHB}\,\, = \,\,\widehat {ADB}\,\, = \,\,{90^0}\) nên A, H, D, B cùng thuộc một đường tròn  (4)

    Từ (3) và (4) suy ra A, H, D, B, I cùng thuộc một đường tròn

    \( \Rightarrow \,\,\widehat {IHD}\,\, + \,\,\widehat {IBD}\,\, = \,\,{180^0} \Rightarrow \,\,\widehat {IHD}\,\, = \,\,{90^0}\) (vì \(\widehat {IBD}\,\, = \,\,{90^0}\)) lại có \(\widehat {NHD}\,\, = \,\,{90^0}\)

    Do đó H, N, I thẳng hàng.\

    2. 

    Kẻ AD là đường kính của đường tròn (O)

    Xét 2 tam giác vuông \(\Delta \)HBA và \(\Delta \)CDA

    có \(\widehat {{B_1}}\,\, = \,\,\widehat {{D_1}}\) (vì nội tiếp cùng chắn cung AC)

    nên \(\Delta \)HBA ∽\(\Delta \)CDA (g.g) \( \Rightarrow \,\,\frac{{{\rm{HB}}}}{{{\rm{CD}}}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AD}}}}\) => HB.AD = AB.CD

    Tương tự \(\Delta \)HCA ∽\(\Delta \)BDA (g.g) \( \Rightarrow \frac{{{\rm{HC}}}}{{{\rm{BD}}}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{{\rm{AC}}}}{{{\rm{AD}}}} \Rightarrow \) HC.AD = AC.BD

    Do đó \(\,\frac{{{\rm{HB}}}}{{{\rm{HC}}}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}}\)  (1)

    Ta có \(\Delta \)AMB ∽\(\Delta \)CMD (g.g)   MB.CD = MD.AB

    Tương tự \( \Rightarrow \,\,\frac{{{\rm{NB}}}}{{{\rm{MD}}}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{CD}}}} \Rightarrow \) MC.BD = AC.MD

    Do đó \(\,\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MC}}}}\,\,{\rm{ = }}\,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{DC}}}}\)  (2)

    Ta có \(\frac{{{\rm{HB}}}}{{{\rm{HC}}}}\,\,{\rm{ + }}\,\,\frac{{{\rm{MB}}}}{{{\rm{MC}}}}\,\, = \,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\left( {\frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}}\,\,{\rm{ + }}\,\,\frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{DC}}}}} \right)\,\, \ge \,\,\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}.2.\sqrt {\frac{{{\rm{DC}}}}{{{\rm{DB}}}}{\rm{.}}\frac{{{\rm{DB}}}}{{{\rm{DC}}}}} \,\, = \,\,2.\frac{{{\rm{AB}}}}{{{\rm{AC}}}}\)

    Dấu « = » xảy ra <=> DB = DC <=> AB = AC <=> Tam giác ABC cân tại A.

    RANDOM

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>