AMBIENT
  • Câu hỏi:

    1. Tính giá trị biểu thức A = \({x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)\), biết rằng

    \(x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }};{x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)\)

    2. Cho hai số thức m, n khác 0 thỏa \(\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2}\)

    Chứng minh rằng phương trình \(\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0\) luôn có nghiệm

    Lời giải tham khảo:

    1. Đặt \(x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }}\)= a + b khi đó

    \({x^3} = \,\,{\left( {a\,\, + \,\,b} \right)^3} = \,\,{a^3} + \,\,{b^3} + \,\,3ab\left( {a\,\, + \,\,b} \right)\,\, = \,\,3\,\, + \,\,2\sqrt 2 \,\, + \,\,3\,\, - \,\,2\sqrt 2  + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {3\,\, + \,\,2\sqrt 2 } \right)\left( {3\,\, - \,\,2\sqrt 2 } \right)}}.x\) 

    \( \Rightarrow {x^3} = \,\,6\,\, + \,\,3x\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^3} - \,3x\,\, = \,\,6\)  (1)

    Đặt \(y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{17\,\, + \,\,12\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{17\,\, - \,\,12\sqrt 2 }}\) = c + d khi đó

    \({y^3} = \,\,{\left( {c\,\, + \,\,d} \right)^3} = \,\,{c^3} + \,\,{d^3} + \,\,3cd\left( {c\,\, + \,\,d} \right)\,\, = \,\,17\,\, + \,\,12\sqrt 2 \,\, + \,\,17\,\, - \,\,12\sqrt 2  + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {17\,\, + \,\,12\sqrt 2 } \right)\left( {17\,\, - \,\,12\sqrt 2 } \right)}}.y\) 

    \( \Rightarrow {y^3} = \,\,34\,\, + \,\,3y\,\, \Leftrightarrow \,\,{y^3} - \,3y\,\, = \,\,34\) (2)

    Từ (1) và (2) suy ra A = \({x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right) = {x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3x\,\, - \,\,3y\,\, = \,\,6\,\, + \,\,34\,\, = \,\,40\)

    2. Ta có \(\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2} \Leftrightarrow \,\,\frac{{2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)}}{{2mn}}\,\, = \,\,\frac{{mn}}{{2mn}}\,\, \Leftrightarrow \,\,2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)\,\, = \,\,mn\) 

    Ta có \(\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
    {x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n\,\, = \,\,0\,\,\,(1)\\
    {x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m\,\, = \,\,0\,\,\,(2)
    \end{array} \right.\) 

    Phương trình (1) là PT bậc hai có \({\Delta _1} = \,\,{m^2} - \,\,4n\) 

    Phương trình (2) là PT bậc hai có \({\Delta _2} = \,\,{n^2} - \,\,4m\) 

    Do đó \({\Delta _1} + \,\,{\Delta _2} = \,\,{m^2} - \,\,4n\,\, + \,\,{n^2} - \,\,4m\,\, = \,\,{m^2} + \,\,{n^2} - \,\,4\left( {m\,\, + \,\,n} \right) = {m^2} + \,\,{n^2} - \,\,2mn\,\, = \,\,{\left( {m\,\, - \,\,n} \right)^2} \ge \,\,0\) 

    Suy ra trong \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0

    Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>