AMBIENT
• Câu hỏi:

1. Tính giá trị biểu thức A = $${x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)$$, biết rằng

$$x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }};{x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)$$

2. Cho hai số thức m, n khác 0 thỏa $$\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2}$$

Chứng minh rằng phương trình $$\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0$$ luôn có nghiệm

Lời giải tham khảo:

1. Đặt $$x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }}$$= a + b khi đó

$${x^3} = \,\,{\left( {a\,\, + \,\,b} \right)^3} = \,\,{a^3} + \,\,{b^3} + \,\,3ab\left( {a\,\, + \,\,b} \right)\,\, = \,\,3\,\, + \,\,2\sqrt 2 \,\, + \,\,3\,\, - \,\,2\sqrt 2 + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {3\,\, + \,\,2\sqrt 2 } \right)\left( {3\,\, - \,\,2\sqrt 2 } \right)}}.x$$

$$\Rightarrow {x^3} = \,\,6\,\, + \,\,3x\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^3} - \,3x\,\, = \,\,6$$  (1)

Đặt $$y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{17\,\, + \,\,12\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{17\,\, - \,\,12\sqrt 2 }}$$ = c + d khi đó

$${y^3} = \,\,{\left( {c\,\, + \,\,d} \right)^3} = \,\,{c^3} + \,\,{d^3} + \,\,3cd\left( {c\,\, + \,\,d} \right)\,\, = \,\,17\,\, + \,\,12\sqrt 2 \,\, + \,\,17\,\, - \,\,12\sqrt 2 + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {17\,\, + \,\,12\sqrt 2 } \right)\left( {17\,\, - \,\,12\sqrt 2 } \right)}}.y$$

$$\Rightarrow {y^3} = \,\,34\,\, + \,\,3y\,\, \Leftrightarrow \,\,{y^3} - \,3y\,\, = \,\,34$$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra A = $${x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right) = {x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3x\,\, - \,\,3y\,\, = \,\,6\,\, + \,\,34\,\, = \,\,40$$

2. Ta có $$\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2} \Leftrightarrow \,\,\frac{{2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)}}{{2mn}}\,\, = \,\,\frac{{mn}}{{2mn}}\,\, \Leftrightarrow \,\,2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)\,\, = \,\,mn$$

Ta có $$\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l} {x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n\,\, = \,\,0\,\,\,(1)\\ {x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m\,\, = \,\,0\,\,\,(2) \end{array} \right.$$

Phương trình (1) là PT bậc hai có $${\Delta _1} = \,\,{m^2} - \,\,4n$$

Phương trình (2) là PT bậc hai có $${\Delta _2} = \,\,{n^2} - \,\,4m$$

Do đó $${\Delta _1} + \,\,{\Delta _2} = \,\,{m^2} - \,\,4n\,\, + \,\,{n^2} - \,\,4m\,\, = \,\,{m^2} + \,\,{n^2} - \,\,4\left( {m\,\, + \,\,n} \right) = {m^2} + \,\,{n^2} - \,\,2mn\,\, = \,\,{\left( {m\,\, - \,\,n} \right)^2} \ge \,\,0$$

Suy ra trong $${\Delta _1}$$ và $${\Delta _2}$$ có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

• ### Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2019 Sở GD&ĐT Bình Định

4 câu hỏi | 150 phút

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

AMBIENT
?>