Tính giá trị biểu thức

1. Đặt \(x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }}\)= a + b khi đó

\({x^3} = \,\,{\left( {a\,\, + \,\,b} \right)^3} = \,\,{a^3} + \,\,{b^3} + \,\,3ab\left( {a\,\, + \,\,b} \right)\,\, = \,\,3\,\, + \,\,2\sqrt 2 \,\, + \,\,3\,\, - \,\,2\sqrt 2  + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {3\,\, + \,\,2\sqrt 2 } \right)\left( {3\,\, - \,\,2\sqrt 2 } \right)}}.x\) 

\( \Rightarrow {x^3} = \,\,6\,\, + \,\,3x\,\, \Leftrightarrow \,\,{x^3} - \,3x\,\, = \,\,6\)  (1)

Đặt \(y\,\, = \,\,\sqrt[3]{{17\,\, + \,\,12\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{17\,\, - \,\,12\sqrt 2 }}\) = c + d khi đó

\({y^3} = \,\,{\left( {c\,\, + \,\,d} \right)^3} = \,\,{c^3} + \,\,{d^3} + \,\,3cd\left( {c\,\, + \,\,d} \right)\,\, = \,\,17\,\, + \,\,12\sqrt 2 \,\, + \,\,17\,\, - \,\,12\sqrt 2  + \,\,3\sqrt[3]{{\left( {17\,\, + \,\,12\sqrt 2 } \right)\left( {17\,\, - \,\,12\sqrt 2 } \right)}}.y\) 

\( \Rightarrow {y^3} = \,\,34\,\, + \,\,3y\,\, \Leftrightarrow \,\,{y^3} - \,3y\,\, = \,\,34\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra A = \({x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right) = {x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3x\,\, - \,\,3y\,\, = \,\,6\,\, + \,\,34\,\, = \,\,40\)

2. Ta có \(\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2} \Leftrightarrow \,\,\frac{{2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)}}{{2mn}}\,\, = \,\,\frac{{mn}}{{2mn}}\,\, \Leftrightarrow \,\,2\left( {m\,\, + \,\,n} \right)\,\, = \,\,mn\) 

Ta có \(\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n\,\, = \,\,0\,\,\,(1)\\
{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m\,\, = \,\,0\,\,\,(2)
\end{array} \right.\) 

Phương trình (1) là PT bậc hai có \({\Delta _1} = \,\,{m^2} - \,\,4n\) 

Phương trình (2) là PT bậc hai có \({\Delta _2} = \,\,{n^2} - \,\,4m\) 

Do đó \({\Delta _1} + \,\,{\Delta _2} = \,\,{m^2} - \,\,4n\,\, + \,\,{n^2} - \,\,4m\,\, = \,\,{m^2} + \,\,{n^2} - \,\,4\left( {m\,\, + \,\,n} \right) = {m^2} + \,\,{n^2} - \,\,2mn\,\, = \,\,{\left( {m\,\, - \,\,n} \right)^2} \ge \,\,0\) 

Suy ra trong \({\Delta _1}\) và \({\Delta _2}\) có ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 0

Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm