Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2019 Sở GD&ĐT Bình Định

1. Tính giá trị biểu thức A = \({x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)\), biết rằng

\(x\,\, = \,\,\sqrt[3]{{3\,\, + \,\,2\sqrt 2 }} + \,\,\,\sqrt[3]{{3\,\, - \,\,2\sqrt 2 }};{x^3} + \,\,{y^3} - \,\,3\left( {x\,\, + \,\,y} \right)\)

2. Cho hai số thức m, n khác 0 thỏa \(\frac{1}{m}\,\, + \,\,\frac{1}{n}\,\, = \,\,\frac{1}{2}\)

Chứng minh rằng phương trình \(\left( {{x^2} + \,\,mx\,\, + \,\,n} \right)\left( {{x^2} + \,\,nx\,\, + \,\,m} \right)\,\, = \,\,0\) luôn có nghiệm

1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, = \,\,1\\
\sqrt x \, - \,\,\sqrt[3]{y}\, + \,\,4x\,\, = \,\,5
\end{array} \right.\)

2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(2x{y^2} + \,\,x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,{x^2} + \,\,2{y^2} + \,\,xy\)

1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

Chứng minh rằng \(a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \,\, \le \,\,5\,\,\)

1. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H là hình chiếu vuông góc của N lên đường thẳng PD.

a) Chứng minh rằng AH vuông góc với BH

b) Đường thẳng qua B song song với AD cắt đường trung trực của AB tại I. Chứng minh ba điểm H, N, I thẳng hàng.

2. Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), đường cao AH. Gọi M là giao điểm của AO và BC. Chứng minh rằng \(\frac{{HB}}{{HC}}\,\, + \,\,\frac{{MB}}{{MC}}\, \ge \,\,2\frac{{AB}}{{AC}}\). Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?