AMBIENT
  • Câu hỏi:

    1. Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, = \,\,1\\
    \sqrt x \, - \,\,\sqrt[3]{y}\, + \,\,4x\,\, = \,\,5
    \end{array} \right.\)

    2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: \(2x{y^2} + \,\,x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,{x^2} + \,\,2{y^2} + \,\,xy\)

    Lời giải tham khảo:

    1. \(\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, = \,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
    \sqrt x \, - \,\,\sqrt[3]{y}\, + \,\,4x\,\, = \,\,5\,\,\,(2)
    \end{array} \right.\)

    Điều kiện x \( \ge \) 0

    PT (1) \( \Leftrightarrow \,\,{x^2} + \,\,xy\,\, + \,\,y\,\, - \,\,1\,\, = \,\,0\)   (3)

    PT (3) là phương trình bậc hai ẩn x có \(\Delta \,\, = \,\,{y^2} - \,\,4y\,\, + \,\,4\,\, = \,\,{\left( {y\,\, - \,\,2} \right)^2} \ge \,\,0\) 

    Do đó PT (3) có hai nghiệm x = -1 (loại vì x \( \ge \) 0), x = \( - \frac{c}{a}\,\, = \,\,1\,\, - \,\,y\) (điều kiện y \( \le \)  1 vì x \( \ge \) 0)

    =>y = -x + 1 . Thay y = -x + 1  vào PT (2) ta có

    \(\sqrt x \,\, - \,\,\sqrt[3]{{ - \,\,x\,\, + \,\,1}}\,\, + \,\,4x\,\, = \,\,5 \Leftrightarrow \,\,\sqrt x \,\, - \,\,1\,\, + \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, + \,\,4x\,\, - \,\,4\,\, = \,\,0\) 

    \( \Leftrightarrow \,\,\frac{{x\,\, - \,\,1}}{{\sqrt x \,\, + \,\,1}}\,\, + \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, + \,\,4\left( {x\,\, - \,\,1} \right)\,\, = \,\,0 \Leftrightarrow \,\,\sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\left[ {\frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt x \, + \,\,1}}\,\, + \,\,1\,\, + \,\,4\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}} \right]\,\, = \,\,0\) 

    \( \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
    \sqrt[3]{{x\,\, - \,\,1}}\,\, = \,\,0\\
    \frac{{\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}}}}{{\sqrt x \, + \,\,1}}\,\, + \,\,1\,\, + \,\,4\sqrt[3]{{{{\left( {x\,\, - \,\,1} \right)}^2}}} = \,\,0
    \end{array} \right. \Rightarrow x = 1\) (TMĐK) suy ra y = 0 (TMĐK)

    Vậy hệ phương trình có nghiệm (x ; y) là (1 ; 0)

    2. \(2x{y^2} + \,\,x\,\, + \,\,y\,\, + \,\,1\,\, = \,\,{x^2} + \,\,2{y^2} + \,\,xy \Leftrightarrow \,\,{x^2} - \,\,x\left( {2{y^2} - \,\,y\,\, + \,\,1} \right)\,\, + \,\,2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1\,\, = \,\,0\,\,\,\,(1)\)

    Đặt \(2{y^2} - \,\,y\,\, + \,\,1\) = a, khi đó PT (1) trở thành \( \Leftrightarrow \,\,{x^2} - \,\,ax\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2 = \,\,0\,\,\,\,(2)\)

    Phương trình (2) có \(\Delta \,\, = \,\,{a^2} - \,\,4a\,\, + \,\,8\,\, = \,\,{\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} + \,\,4\) 

    Phương trình (1) có nghiệm nguyên <=> Phương trình (2) có nghiệm nguyên

    \( \Rightarrow \Delta \) là số chính phương

    Đặt \({\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} + \,\,4 = {k^2}\left( {k \in N} \right) \Leftrightarrow \,\,{k^2} - \,\,{\left( {a\,\, - \,\,2} \right)^2} = \,\,4 \Leftrightarrow \,\,\left( {k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2} \right)\left( {k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2} \right)\,\, = \,\,4\)

    Vì (k  + a – 2) + (k – a + 2) = 2k là số chẵn và có tích cũng là số chẵn nên (k  + a – 2) và (k – a + 2) là số chẵn.

    Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}
    k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2\,\, = \,\,2\\
    k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2\,\, = \,\,2
    \end{array} \right.\) hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
    k\,\, + \,\,a\,\, - \,\,2\,\, = \,\, - 2\\
    k\,\, - \,\,a\,\, + \,\,2\,\, = \,\, - 2
    \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
    k\,\, = \,\,2\\
    a\,\, = \,\,2
    \end{array} \right.\)   hoặc \(\left\{ \begin{array}{l}
    k\,\, = \,\, - 2\\
    a\,\, = \,\,2
    \end{array} \right.\)

    Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm là \(\left[ \begin{array}{l}
    x\,\, = \,\,\frac{{a\,\, + \,\,\sqrt {{k^2}} }}{2}\,\, = \,\,\frac{{2\,\, + \,\,2}}{2}\,\, = \,\,2\\
    x\,\, = \,\,\frac{{a\,\, - \,\,\sqrt {{k^2}} }}{2}\,\, = \,\,\frac{{2\,\, - \,\,2}}{2}\,\, = \,\,0\,\,
    \end{array} \right.\) 

    Ta có \(2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1 = a = 2 \Leftrightarrow 2{y^2} - \,\,y\,\, - \,\,1 \Leftrightarrow 2{y^2} - \,\,2y\,\, + \,\,y\, - \,\,1\,\, = \,\,0\)

    \( \Leftrightarrow \,\,\left( {y\,\, - \,\,1} \right)\left( {2y\,\, + \,\,1} \right)\,\, = \,\,0\,\, \Leftrightarrow \,\,\left[ \begin{array}{l}
    y\,\, = \,\,1\\
    y\,\, = \,\, - \frac{1}{2}
    \end{array} \right.\) . Ta chọn y = 1 (vì y \( \in \) Z)

    Vậy nghiệm nguyên (x ; y) của hệ phương trình là (2 ; 1) và (0 ; 1)

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AMBIENT
?>