AMBIENT
  • Câu hỏi:

    1. Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc nằm trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1

    2. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3

    Chứng minh rằng \(a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \,\, \le \,\,5\,\,\)

     

    Lời giải tham khảo:

    1. Gọi AiAj là hai điểm xa nhau nhất trong các điểm thuộc tập hợp 8073 điểm đã cho.

    Giả sử Ak là điểm cách xa đoạn thẳng AiAjnhất . Khi đó

    Tam giác AiAjAk là tam giác lớn nhất và có diện tích hông lớn hơn 1

    Vẽ các đường thẳng đi qua các điểm  Ai, Aj, Ak  lần lượt song song với các cạnh của tam giác AiAjAk

    Ta được 4 tam giác nhỏ bằng nhau và một tam giác lớn chứa cả 4 tam giác nhỏ

    Tam giác lớn có diện tích không quá 4 đơn vị. Do đó, tam giác lớn chứa tất cả 8073 điểm đã cho

    Ta có 8073 chia cho 4 được 2018 và dư là 1 nên theo nguyên lý Dirichlet suy ra có ít nhất 1 trong 4 tam giác có 1 tam giác chứa 2019 trong 8073 điểm đã cho.

    2. Đặt P = \(a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \) suy ra

    \(2P = 2a\sqrt {{b^3} + \,\,1} \,\, + \,\,2b\sqrt {{c^3} + \,\,1} \,\, + \,\,2c\sqrt {{a^3} + \,\,1} \)

    \(\begin{array}{l}
     = 2a\sqrt {\left( {b\,\, + \,\,1} \right)\left( {{b^2}\,b\,\, + \,\,1} \right)}  + \,\,2b\sqrt {\left( {c\,\, + \,\,1} \right)\left( {{c^2} - \,\,c\,\, + \,\,1} \right)}  + \,\,2c\sqrt {\left( {a\,\, + \,\,1} \right)\left( {{a^2} - \,\,a\,\, + \,\,1} \right)} \\
     \le \,\,a\left( {{b^2} + \,\,2} \right)\, + \,\,b\left( {{c^2} + \,\,2} \right)\,\, + \,\,c\left( {{a^2} + \,\,2} \right) = a{b^2} + b{c^2} + c{a^2} + 6 = Q + 6
    \end{array}\)

    Không mất tính tổng quát, ta giả sử \(b\,\, \le \,\,c\,\, \le \,\,a\) ta có

    \(b\left( {a\,\, - \,\,c} \right)\left( {c\,\, - \,\,b} \right)\,\, \ge \,\,0 \Leftrightarrow \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, \ge \,\,a{b^2} + \,\,b{c^2} \Leftrightarrow \,\,a{b^2} + \,\,b{c^2} + \,\,c{a^2} \le \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2}\) 

    Do đó Q \( \le \,\,abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2} \le \,\,2abc\,\, + \,\,{b^2}c\,\, + \,\,c{a^2} = \,\,c{\left( {a\,\, + \,\,b} \right)^2} = \,\,4c\frac{{a\,\, + \,\,b}}{2}.\frac{{a\,\, + \,\,b}}{2}\) 

    \( \le \,\,\frac{4}{{27}}{\left( {c\,\, + \,\,\frac{{a\, + \,\,b}}{2}\,\, + \,\,\frac{{a\, + \,\,b}}{2}} \right)^3} = \,\,\frac{{4{{\left( {a\,\, + \,\,b\,\, + \,\,c} \right)}^2}}}{{27}}\,\, = \,\,\frac{{{{4.3}^3}}}{{27}}\,\, = \,\,4\) 

    Do đó \(2P \le 10 \Leftrightarrow P \le 5\). Dấu “=” xảy ra khi a + b + c = 3, \(b\,\, \le \,\,c\,\, \le \,\,a\), 2c = a + b, abc = 2abc

    <=> b = 0, c = 1, a = 2

    ADSENSE

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

YOMEDIA