YOMEDIA

Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Số học

Tải về
 
NONE

Nhằm giúp các em chuẩn bị tốt cho kì thi HSG môn Toán lớp 9 sắp tới, HOC247.Net giới thiệu tới các em tài liệu Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Số học, được tổng hợp với nhiều dạng bài tập nâng cao giúp các em rèn luyện kỹ năng giải bài tập và nắm rõ các phương pháp giải để đạt được kết quả tốt hơn cho kì thi.

ADSENSE
YOMEDIA

ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC

 

Các em có thể tải về hoặc xem Online để xem toàn bộ nội dung các câu hỏi của tài liệu Ôn thi học sinh giỏi lớp 9 phần Số học.

 

Câu 1: So sánh \(\sqrt {{{2017}^2} - 1} - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) và \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt {{{2015}^2} - 1}  - \sqrt {{{2014}^2} - 1}  = \frac{{(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} )(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} )}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{({{2015}^2} - 1) - ({{2014}^2} - 1)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{{{2017}^2} - {{2016}^2}}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{(2017 - 2016)(2017 + 2016)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{2017 + 2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

Vậy \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \)  >  \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

 Câu 2:  Biết \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

\(\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5.\)

Hướng dẫn giải:

ĐK: \({\rm{ a}} \ne  \pm b\sqrt 5 \) (*)

 \(\begin{array}{l}\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow 2(a - b\sqrt 5 ) - 3(a + b\sqrt 5 ) =  - (9 + 20\sqrt 5 )(a + b\sqrt 5 )(a - b\sqrt 5 )\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} - 45{b^2} - a = \sqrt 5 ( - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b)\) (*)

Ta thấy (*) có dạng \(A = B\sqrt 5 \) trong đó A, B \( \in Q\), nếu \(B \ne 0\,thi\,\sqrt 5  = \frac{A}{B} \in I\) vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 9{a^2} + 45{b^2} + \frac{9}{4}b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\a = \frac{9}{4}b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{4}b\\{b^2} - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\,hoac \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

Câu 3: Chứng minh rằng  n3 - n chia hết cho 6 với mọi n \( \in \) Z.

Hướng dẫn giải:

P= n3 - n = n(n2 -1)

= n(n+1)(n-1)

Ta có n(n+1) \( \vdots \) 2 ⇒ P\( \vdots \) 2

       n(n+1)(n-1) \( \vdots \) 3 ⇒ P\( \vdots \) 3

Mà (2,3) = 1 ⇒  P\( \vdots \) 6

Câu 4:  Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

  1. \(n + 8\) là số chính phương.
  2. \(n - 3\) là số chính phương.
  3. \(n\) chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.

\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n + 8\) chia cho 3 dư 2,

mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)

\( \Rightarrow \)\(n + 8\) không phải là số chính phương.  vậy n không thỏa tc1

\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n - 3 \vdots 3\)

 \(n \vdots 9\) mà 3 không chia hết cho 9 \( \Rightarrow n - 3\) không chia hết cho 9

Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)

nên \(n - 3\) không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.\(\)

n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.

(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ

0,25 đ cho cả hai phần này)

Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}n + 8 = {p^2}\\n - 3 = {k^2}\end{array} \right.\) (p; k \(\in \) N) \( \Rightarrow {p^2} - {k^2} = 11\)\( \Rightarrow (p - k)(p + k) = 11\)

Do p,k\( \in \)N \( \Rightarrow p + k \in N;p - k \in Z;p + k > p - k\);

Kết hợp với (1) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}p + k = 11\\p - k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}p = 6 \\ k = 5\end{array} \right.\)

Câu 5:  Giả sử N = 1.3.5.7…2007.

Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1

Có 2N \(\vdots \) 3 \(\Rightarrow \) 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2  (k \(\in \)N)

\(\Rightarrow \) 2N-1 không là số chính phương.

 

Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Hoc247.net.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!

 

NONE

ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ERROR:connection to 10.20.1.101:9312 failed (errno=111, msg=Connection refused)
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF