Tóm tắt Lý thuyết và Công thức giải nhanh Toán 12

TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ CÔNG THỨC GIẢI NHANH TOÁN 12

Xin mời các em theo dõi video Hướng dẫn giải Giải đề thi học kì 1 Toán 12 Sở Bình Thuận để nắm các phương pháp làm bài cũng như ôn luyện kiến thức:

Để xem đầy đủ nội dung, các em vui lòng sử dụng chức năng xem Online hoặc đăng nhập Hoc247 tải file PDF tài liệu về máy.

I. CHƯƠNG 1: HÀM SỐ 

1. Đạo hàm của hàm số

a) Các quy tắc        

Cho \(u = u\left( x \right)\,\,;\,\,v = v\left( x \right)\,\,;\,\,C\,\,:\) là hằng số.

• \(\left( {u \pm v} \right)' = u' \pm v'\)
• \(\left( {u.v} \right)' = u'.v + v'.u\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {C.u} \right)^\prime } = C.u'\)
• \(\left( {\frac{u}{v}} \right) = \frac{{u'.v - v'.u}}{{{v^2}}}\,\,\,,\,\,\left( {v \ne 0} \right) \Rightarrow \,\,{\left( {\frac{C}{u}} \right)^\prime } =  - \frac{{C.u'}}{{{u^2}}}\)
• Nếu \(y = f\left( u \right)\,,\,\,u = u\left( x \right)\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow {y'_x} = {y'_u}.{u'_x}\).
  1. Các công thức:
• \({\left( C \right)^\prime } = 0\,\,\,\,\,;\,\,\,\,{\left( x \right)^\prime } = 1\)
• \({\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n.{x^{n - 1}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {{u^n}} \right)^\prime } = n.{u^{n - 1}}.u'\,\,\,\,\,,\,\,\,\left( {n \in \mathbb{N}\,\,,\,\,n \ge 2} \right)\)
• \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime } = \frac{1}{{2\sqrt x }}\,\,\,\,,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'\,}}{{2\sqrt u }}\,\,\,\,\,,\,\,\left( {u > 0} \right)\)
• \({\left( {\sin x} \right)^\prime } = \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\sin u} \right)^\prime } = u.'\cos u\)
• \({\left( {\cos x} \right)^\prime } =  - \sin x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cos u} \right)^\prime } =  - u'.\sin u\)
• \({\left( {\tan x} \right)^\prime } = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\tan u} \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{{{\cos }^2}u}}\,\)
• \({\left( {\cot x} \right)^\prime } =  - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Rightarrow \,\,\,{\left( {\cot u} \right)^\prime } =  - \frac{{u'}}{{{{\sin }^2}u}}\,\).

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong

Tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\)tại \(M\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)\), có phương trình là:   \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

• Khi biết hệ số góc của tiếp tuyến: Nếu tiếp tuyến của đồ thị \(\left( C \right):y = f\left( x \right)\) có hệ số góc là \(k\) thì ta gọi \({M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,{y_0}} \right)\)là tiếp điểm \( \Rightarrow f'\left( {{x_0}} \right) = k\)    (1)

• Giải phương trình (1) tìm \({x_0}\) suy ra  \({y_0} = f\left( {{x_0}} \right)\)
• Phương trình tiếp tuyến phải tìm có dạng:  \(y = k\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\)

c) Chú ý

• Hệ số góc của tiếp tuyến tại \(M\left( {{x_0}\,,\,{y_0}} \right) \in \left( C \right)\)là  \(k = f'\left( {{x_0}} \right) = \tan \alpha \) Trong đó \( - 1\) là góc giữa chiều dương của trục hoành và tiếp tuyến.
• Hai đường thẳng song song với nhau thì hệ số góc của chúng bằng nhau.
• Hai đường thẳng vuông góc nếu tích hệ số góc của chúng bằng \( - 1\).

• Biết tiếp tuyến đi qua điểm \(A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right)\):   

• Viết phương trình tiếp tuyến của \(y = f\left( x \right)\) tại \({M_0}\left( {{x_0}\,\,;\,\,{y_0}} \right)\):   \(y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + {y_0}\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
• Vì  tiếp tuyến đi qua \(A\left( {{x_1}\,;\,{y_1}} \right) \Rightarrow {y_1} = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {{x_1} - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right)\,\,\,\left( * \right)\)
• Giải phương trình(*) tìm \({x_0}\) thế vào (1) suy ra phương trình tiếp tuyến.

2. Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

a) Định nghĩa

Kí hiệu: K là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên K.

• Hàm số \(y=f(x)\) đồng biến (tăng) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})\).
• Hàm số \(y=f(x)\) nghịch biến (giảm) trên K nếu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x_1},{x_2} \in K}\\ {{x_1} < {x_2}} \end{array}} \right. \Rightarrow f({x_1}) > f({x_2})\).

b) Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f(x)\) đồng biến trên K thì \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\).
• Nếu \(f(x)\) nghịch biến trên K thì \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\).

c) Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm trên K:

• Nếu \(f'(x)\geq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) đồng biến trên K.
• Nếu \(f'(x)\leq 0\) với mọi \(x\in K\) và \(f'(x)=0\) chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì \(f(x)\) nghịch biến trên K.
• Nếu \(f'(x)=0\) với mọi \(x\in K\) thì \(f(x)\) là hàm hằng trên K.

{--Xem đầy đủ nội dung ở phần xem Online hoặc tải về--}

Các em quan tâm có thể xem thêm:

• Đề thi thử môn Toán THPT Quốc gia 2018 Tạp chí Toán Học Tuổi Trẻ lần 1
• Tài liệu ôn thi THPT Quốc gia môn Toán 2018 Sở GD và ĐT Tuyên Quang

Chúc các em học tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!