Phương pháp viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau

Cho \({{d}_{1}}:{{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}}=0\) và \({{d}_{2}}:{{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}}=0\)

Điểm \(M\left( x;y \right)\) nằm trên đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d₁ và d₂ \(\Leftrightarrow {{d}_{\left( M;{{d}_{1}} \right)}}={{d}_{\left( M;{{d}_{2}} \right)}}\Leftrightarrow \frac{\left| {{A}_{1}}x+{{B}_{1}}y+{{C}_{1}} \right|}{\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{B}_{1}}^{2}}}=\frac{\left| {{A}_{2}}x+{{B}_{2}}y+{{C}_{2}} \right|}{\sqrt{{{A}_{2}}^{2}+{{B}_{2}}^{2}}}\)      (9)

\(\Rightarrow \) Phương trình (9) gọi là phương trình đường phân giác của góc tạo bởi 2 đường thẳng cắt nhau d₁ và d₂.

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường phân giác góc nhọn của góc tạo bởi 2 đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:3x+4y-3=0\) và \({{\Delta }_{2}}:4x+3y-1=0\) là: A. x-y+2=0.                                   B. 7x+7y-4=0. C.x+y-2=0.                                     D. 7x+7y+4=0.

Lời giải:

Phương trình đường phân giác cần tìm là:

\(\frac{\left| 3x+4y-3 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{\left| 4x+3y-1 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-y+2=0 \\ & 7x+7y-4=0 \\ \end{align} \right.\)

+ Gọi phân giác 1 là \({{d}_{1}}:x-y+2=0\)

Phân gíac 2 là \({{d}_{2}}:7x+7y-4=0\)

+ Chọn \(M\left( 1;0 \right)\in {{\Delta }_{1}}\)

Tính \({{d}_{\left( M;{{d}_{1}} \right)}}=\frac{\left| 1+2 \right|}{\sqrt{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}};{{d}_{\left( M;{{d}_{2}} \right)}}=\frac{\left| 7-2 \right|}{\sqrt{{{7}^{2}}+{{7}^{2}}}}=\frac{3}{7\sqrt{2}}<\frac{3}{\sqrt{2}}\)

\(\Rightarrow {{d}_{2}}:7x+7y-4=0\) là đường phân giác góc nhọn

Đáp án B.

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho A(1;2); B(-3;5); C(-5;-6). Phương trình đường phân giác trong hạ từ A của \(\Delta ABC\) là: A. x-7y+13=0.                                       B. 7x+y-9=0. C. x-7y-13=0.                                         D. 7x+y+9=0.

Lời giải

Chọn B.

+ Đường thẳng AB: 3x + 4y – 11 =0

Đường thẳng AC: 4x – 3y + 2= 0

\(\Rightarrow M\left( x;y \right)\) thuộc đường phân giác tạo bởi AB, AC

\(\Rightarrow {{d}_{\left( M;AB \right)}}={{d}_{\left( M;AC \right)}}\Leftrightarrow \frac{\left| 3x+4y-11 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{\left| 4x-3y+2 \right|}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}}\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x-7y+13=0 \\ & 7x+y-9=0 \\ \end{align} \right.\)

+ Xét đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:x-7y+13=0\) với hai điểm B(-3;5) , C(-5;-6)

Có \(\left( -3-7.5+13 \right)\left( -5-7\left( -6 \right)+13 \right)<0\Rightarrow \) B và C nằm về hai phía của đường thẳng \({{\Delta }_{1}}\)

\(\Rightarrow \) Đường phân giác trong hạ từ A của \(\vartriangle ABC\) là \({{\Delta }_{1}}:x-7y+13=0.\)

Lời giải

Chọn B.

Đường thẳng AC qua \(C\left( 1;-2 \right)\)và vuông góc với BH nên có phương trình AC: x+y-1=0

Khi đó tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{align} & x+y-1=0 \\ & 2x-y+5=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-\frac{4}{3} \\ & y=\frac{7}{3} \\ \end{align} \right.\)

Vậy \(A\left( -\frac{4}{3};\frac{7}{3} \right)\)

Bài 3: Cho đường thẳng d:4x-3y+13=0. Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi d và trục Ox là A. 4x+3y+13=0 và 4x-y+13=0. B. 4x-8y+13=0 và 4x+2y+13=0. C. x+3y+13=0 và x-3y+13=0. D. x+3y+13=0 và 3x-y+13=0.

Lời giải

Chọn B.

Ta có: d:4x-3y+13=0, Ox:y=0

Phương trình các đường phân giác của góc tạo bởi d và trục Ox là

\(\frac{4x-3y+13}{\sqrt{{{4}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=\pm y\,\,\Leftrightarrow 4x-3y+13=\pm 5y\,\,\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & 4x-8y+13=0 \\ & 4x+2y+13=0 \\ \end{align} \right.\)

Bài 4: Cho tam giác ABC có \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) và hai trong ba đường phân giác trong có phương trình lần lượt là x-2y-1=0, x+3y-1=0. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh BC. A. y+1=0 B. y-1=0 C. 4x-3y+1=0 D. 3x-4y+8=0

Lời giải

Chọn A.

Dễ thấy điểm \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) không thuộc hai đường phân giác x-2y-1=0 và x+3y-1=0. Suy gọi CF:x-2y-1=0, BE:x+3y-1=0 lần lượt là phương trình đường phân giác xuất phát từ đỉnh C, B (như hình vẽ trên).

Gọi d là đường thẳng qua \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) và vuông góc với BE thì d có VTPT là \(\overrightarrow{{{n}_{d}}}=\left( 3;-1 \right)\) nên có phương trình \(3\left( x-\frac{4}{5} \right)-\left( y-\frac{7}{5} \right)=0\Leftrightarrow 3x-y-1=0\). Tọa độ điểm \(M=d\cap BE\) thỏa mãn hệ

\(\left\{ \begin{align} & 3x-y-1=0 \\ & x+3y-1=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{2}{5} \\ & y=\frac{1}{5} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( \frac{2}{5};\frac{1}{5} \right)\).

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) qua \(M\left( \frac{2}{5};\frac{1}{5} \right)\) là \({A}'\left( 0;-1 \right)\) thì \({A}'\in BC \left( 1 \right)\).

Gọi d' là đường thẳng qua \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) và vuông góc với CF thì d' có VTPT là \(\overrightarrow{{{n}_{{{d}'}}}}=\left( 2;1 \right)\) nên có phương trình \(2\left( x-\frac{4}{5} \right)+\left( y-\frac{7}{5} \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-3=0\). Tọa độ điểm \(N={d}'\cap CF\) thỏa mãn hệ

\(\left\{ \begin{align} & 2x+y-3=0 \\ & x-2y-1=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=\frac{7}{5} \\ & y=\frac{1}{5} \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow N\left( \frac{7}{5};\frac{1}{5} \right)\).

Suy ra tọa độ điểm đối xứng với \(A\left( \frac{4}{5};\frac{7}{5} \right)\) qua \(N\left( \frac{7}{5};\frac{1}{5} \right)\) là \({{A}'}'\left( 2;-1 \right)\) thì \[{{A}'}'\in BC\left( 2 \right)\).

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta có \(\overrightarrow{{A}'{{A}'}'}=\left( 2;0 \right)\) là một VTCP của BC suy ra VTPT của BC là \(\overrightarrow{n}=\left( 0;1 \right)\). Do đó phương trình cạnh \(BC:0\left( x-0 \right)+1\left( y+1 \right)=0\Leftrightarrow y+1=0\)

 

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Phương pháp viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!