Hướng dẫn cách giải và phương pháp làm bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng Toán 10

a. Cách 1:

Cho 2 đường thẳng \(\left\{ \begin{align} & \Delta :Ax+By+C=0 \\ & {\Delta }':{A}'x+{B}'y+{C}'=0 \\ \end{align} \right.\) khi đó:

+ Nếu \(\frac{A}{{{A}'}}\ne \frac{B}{{{B}'}}\Rightarrow \Delta \) và \({\Delta }'\) cắt nhau.

+ Nếu \(\frac{A}{{{A}'}}=\frac{B}{{{B}'}}\ne \frac{C}{{{C}'}}\Rightarrow \Delta \) và \({\Delta }'\) song song với nhau.

+ Nếu \(\frac{A}{{{A}'}}=\frac{B}{{{B}'}}=\frac{C}{{{C}'}}\Rightarrow \Delta \) và \({\Delta }'\) trùng nhau.

b. Cách 2:

Xét hệ gồm phương trình 2 đường thẳng \(\left\{ \begin{align} & \Delta ;Ax+By+C=0 \\ & {\Delta }':{A}'x+{B}'y+{C}'=0 \\ \end{align} \right.\) (I), khi đó:

+ Nếu hệ (I) có 1 nghiệm \(\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\Rightarrow {{\Delta }_{1}}\cap {{\Delta }_{2}}=M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\)

+ Nếu hệ (I) vô nghiệm \(\Rightarrow {{\Delta }_{1}}//{{\Delta }_{2}}\)

+ Nếu hệ (I) có vô số nghiệm \(\Rightarrow {{\Delta }_{1}}\equiv {{\Delta }_{2}}\)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho các đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1};\) \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=3+t \\ \end{align} \right.;\) \({{d}_{3}}:-x+2y+5=0.\) Khi đó ta có A. \({{d}_{1}}//{{d}_{2}}.\) B. \({{d}_{2}}\equiv {{d}_{3}}.\) C. \({{d}_{2}}//{{d}_{3}}.\) D. \({{d}_{1}}\equiv {{d}_{3}}.\)

Lời giải:

+ \({{d}_{1}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y-2}{1}\Leftrightarrow x+1=2\left( y-2 \right)\Leftrightarrow x-2y+5=0\) (1)

+ \({{d}_{2}}:\left\{ \begin{align} & x=1+2t \\ & y=3+t \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{x-1}{2}=\frac{y-3}{1}\Leftrightarrow x-1=2y-6\Leftrightarrow x-2y+5=0\) (2)

+ \({{d}_{3}}:x-2y-5=0\) (3)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow {{d}_{1}}\equiv {{d}_{2}}\), loại phương án A.

Từ (2) và (3) \(\Rightarrow \frac{1}{1}=\frac{-2}{-2}\ne \frac{5}{-5}\Rightarrow {{d}_{2}}//{{d}_{3}},\) loại B.

Vậy ta chọn đáp án C.

Lời giải

Chọn B

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{align} & 2x-m=0(1) \\ & mx-y+3=0(2) \\ \end{align} \right.\) (*) có \(D=\left| \begin{align} & 2\text{ 0} \\ & m\text{ -1} \\ \end{align} \right|=2\left( -1 \right)-m.0=-2\)

\(\Rightarrow D\ne 0\Rightarrow \) Hệ có 1 nghiệm \(\Rightarrow {{d}_{1}}\) luôn cắt d₂ tại 1 điểm

+ Gọi giao điểm của d₁ và d₂ là M(x;y) thỏa mãn (*)

Từ phương trình (1) \(\Rightarrow m=2x\) thế vào phương trình (2)

\(\Rightarrow 2.x.x-y+3=0\Leftrightarrow y=2{{x}^{2}}+3\) (3)

Tọa độ M thỏa mãn phương trình (3) \(\Rightarrow \) tập hợp điểm M là (P): \(y=2{{x}^{2}}+3\)

\(\Rightarrow I\left( 0;3 \right).\)

Bài 2: Đường thẳng \(\Delta :3x-2y-7=0\) cắt đường thẳng nào sau đây? A. \({{d}_{1}}:3x+2y=0\) B. \({{d}_{2}}:3x-2y=0\) C. \({{d}_{3}}:-3x+2y-7=0\) D. \({{d}_{4}}:6x-4y-14=0\)

Lời giải

Chọn A

Xét đường thẳng \(\Delta :3x-2y-7=0\) và \({{d}_{1}}:3x+2y=0\) có \(\frac{3}{3}\ne \frac{-2}{2}\).

Vậy \(\Delta \) cắt \({{d}_{1}}\)

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường thẳng \(d:\,x-2y+1=0\) và điểm \(M\left( 2;\,3 \right)\). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d là A. x+2y-8=0 B. x-2y+4=0 C. 2x-y-1=0 D. 2x+y-7=0

Lời giải

Chọn D

\(\Delta \) vuông góc \(d:\,x-2y+1=0\Rightarrow \Delta \) có VTPT là \(\overrightarrow{n}=\left( 2;\,1 \right)\).

\(\Delta \) qua \(M\left( 2;\,3 \right)\) nên có phương trình là \(2\left( x-2 \right)+\left( y-3 \right)=0\Leftrightarrow 2x+y-7=0\).

Bài 4: Cho hai đường thẳng d và \({{d}^{\prime }}\) biết d:2x+y-8=0 và \({{d}^{\prime }}:\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=1+2t \\ y=3-t \\ \end{array} \right.\). Biết \(I\left( a;\text{ }b \right)\) là tọa độ giao điểm của d và \({{d}^{\prime }}\). Khi đó tổng a+b bằng A. 5 B. 1 C. 3 D. 6

Lời giải

Chọn A

Tham số t ứng với giao điểm của d và \({{d}^{\prime }}\) là nghiệm của phương trình

\(2\left( 1+2t \right)+\left( 3-t \right)-8=0\Leftrightarrow t=1\)

Khi đó \( \left\{ \begin{array}{*{35}{l}} x=3 \\ y=2 \\ \end{array} \right.\)

\(\Rightarrow I\left( 3;\text{ }2 \right)\Rightarrow a+b=5\)

Bài 5: Cho đường thẳng d:x-2y-3=0. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm \(M\left( \,0;\,1 \right)\) trên đường thẳng. A. \(H\left( \,-1;\,2 \right)\). B. \(H\left( \,5;\,1 \right)\). C. \(H\left( \,3;\,0 \right)\). D. \(H\left( \,1;\,-1 \right)\).

Lời giải

Chọn D

\(\Delta \bot d\Rightarrow \Delta :2x+y+m=0\), mà \(M\left( \,0;\,1 \right)\in \Delta :2.0+1+m=0\Leftrightarrow m=-1\Rightarrow \Delta :2x+y-1=0\).

Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ: 

\(\left\{ \begin{align} & 2x+y-1=0 \\ & x-2y-3=0 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=1 \\ & y=-1 \\ \end{align} \right.\).

Vậy \(H\left( \,1;\,-1 \right)\).

...

---Để xem tiếp nội dung bài 6 đến bài 10, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Hướng dẫn cách giải và phương pháp làm bài tập vị trí tương đối của hai đường thẳng Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!