Lý thuyết và bài tập về Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Toán 10

a. Cho điểm \(M\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)\) và đường thẳng \(\Delta :Ax+By+Cz=0\left( {{A}^{2}}+{{B}^{2}}\ne 0 \right)\)

Khi đó khoảng cách từ M đến \(\Delta \) được xác định theo công thức:

\({{d}_{\left( M;\Delta  \right)}}=\frac{\left| A{{x}_{0}}+B{{y}_{0}}+C \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}\)   

b. Cho hai đường thẳng song song với nhau lần lượt có phương trình \({{\Delta }_{1}}:Ax+By+C=0\) \({{\Delta }_{1}}:Ax+By+{C}'=0.\) Khi đó:

\({{d}_{\left( {{\Delta }_{1}};{{\Delta }_{2}} \right)}}=\frac{\left| C-{C}' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}}\)   

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho d:2x-3y+1=0 và \(\Delta :-4x+6y-5=0.\) Khi đó khoảng cách từ d đến \(\Delta \) là: A. \(\frac{7\sqrt{13}}{26}.\) B. \(\frac{3\sqrt{13}}{26}.\) C. \(\frac{3\sqrt{13}}{13}.\) D. 0.

Lời giải:

Cách 1:

+ Ta có: \(\left\{ \begin{align} & d:2x-3y+1=0\text{ (1)} \\ & \Delta :-4x+6y-5=0\text{ (2)} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \frac{2}{-4}=\frac{-3}{6}\ne \frac{1}{-5}\Rightarrow d//\Delta \)

+ Chọn x= 0 thế vào (1) \(\Rightarrow 2.0-3.y+1=0\Rightarrow y=\frac{1}{3}\Rightarrow M\left( 0;\frac{1}{3} \right)\in d\)

\(\Rightarrow {{d}_{\left( d;\Delta  \right)}}={{d}_{\left( M;\Delta  \right)}}=\frac{\left| -4.0+6.\frac{1}{3}-5 \right|}{\sqrt{{{\left( -4 \right)}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{13}}{26}\)

Cách 2:

+ \(\Delta :-4x+6y-5=0\Leftrightarrow 2x-3y+\frac{5}{2}=0\) (1)

+ Đường thẳng d:2x-3y+1=0 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow d//\Delta \Rightarrow {{d}_{\left( d;\Delta  \right)}}=\frac{\left| \frac{5}{2}-1 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -3 \right)}^{2}}}}=\frac{3\sqrt{13}}{26}.\)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 =0 và \(\Delta :x+2y-6=0.\) Tìm M có hoành độ âm thuộc \(\Delta \) sao cho khoảng cách từ M đến d là \(\sqrt{5.}\) Khi đó được điểm \(M\left( a;b \right)\). Tính a + b ( với  a< 0). A. 2. B. 3. C. 4. D. -2.

Lời giải:

+ \(M\in \Delta :x+2y-6=0\Leftrightarrow x=-2y+6\)

\(\Rightarrow M\left( -2m+6;m \right)\) với m là tham số.

+ \({{d}_{\left( m;d \right)}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \frac{\left| 2\left( -2m+6 \right)-m+3 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\sqrt{5}\Leftrightarrow \left| -5m+15 \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2\Rightarrow M\left( 2;2 \right) \\ & m=4\Rightarrow M\left( -2;4 \right) \\ \end{align} \right.\)

Suy ra điểm M cần tìm là \(M\left( -2;4 \right)\Rightarrow a+b=2.\)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d:x+y-5=0 và \(I\left( 2;0 \right)\). Tìm điểm M thuộc d sao cho MI=3 A. \(\left( 2;3 \right);\,\,\left( 5;0 \right)\) B. \(\left( 2;3 \right);\,\,\left( -1;6 \right)\) C. \(\left( -1;6 \right);\,\,\left( 5;0 \right)\) D. \(\left( 3;2 \right);\,\,\left( 2;3 \right)\)

Lời giải

Cách 1:

+ \(M\in d:y=-x+5\Rightarrow M\left( m;-m+5 \right)\Rightarrow \overrightarrow{MI}=\left( 2-m;m-5 \right)\)

+ \(MI=3\Leftrightarrow \left( 2-{{m}^{2}} \right)+{{\left( -m+5 \right)}^{2}}=9\)

\(\Leftrightarrow 4-4m+{{m}^{2}}+{{m}^{2}}-10m+25=9\)

\(\Leftrightarrow 2{{m}^{2}}-14m+20=0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & m=2 \\ & m=5 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow M\left( 2;3 \right);\,\,M\left( 5;0 \right)\)

Cách 2: (dùng khi đã học phương trình đường tròn)

+ Ta có \(IM=3\Rightarrow \) M thuộc đường tròn (C) có tâm \(I\left( 2;0 \right)\), bán kính R=3 \(\Rightarrow \left( C \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=9\)

+ Xét hệ \(\left\{ \begin{array}{l} d\\ \left( C \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} y = - x + 5\\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 9 \end{array} \right.\left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x = 2\\ y = 3 \end{array} \right.\\ \left\{ \begin{array}{l} x = 5\\ y = 0 \end{array} \right. \end{array} \right. \Rightarrow M\left( {2;3} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} M\left( {5;0} \right)\)

Đáp án A.

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(A\left( 1;1 \right);\,\,B\left( 4;-3 \right)\), điểm \({{M}_{1}}\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right);\,\,{{M}_{2}}\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)\) thuộc đường thẳng d: x-2y-1=0 sao cho khoảng cách từ M đến AB là 6. Khi đó \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}\) là A. \(\frac{120}{11}\) B. \(\frac{6}{11}\) C. \(\frac{34}{11}\) D. \(\frac{-70}{11}\)

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng AB: 4x+3y-7=0

+ \(M\in d:x=2y+1\Rightarrow M\left( 2t+1;t \right)\)

Mà \({{d}_{\left( M;AB \right)}}=6\Rightarrow \left| 11t-3 \right|=30\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & t=3 \\ & t=\frac{-27}{11} \\ \end{align} \right.\)

• Với \(t=3\Rightarrow M\left( 7;3 \right)\)

• Với \(t=-\frac{27}{11}\Rightarrow M\left( -\frac{43}{11};-\frac{27}{11} \right)\)

\(\Rightarrow {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=7-\frac{43}{11}=\frac{34}{11}\)

Đáp án C

Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy, một trong các đường thẳng qua \(E\left( \frac{7}{3};-2 \right)\) và cách \(M\left( 1;2 \right)\) một khoảng là 4, có dạng d:Ax+By-15=0. Khi đó giá trị A+B là A. 1 B. – 1 C. 3 D. 7

Lời giải

+ Gọi VTPT của d là \(\overrightarrow{n}=\left( A;B \right)\ne \overrightarrow{0}\)

+ d qua \(E\left( \frac{7}{3};-2 \right)\Rightarrow A\left( x-\frac{7}{3} \right)+B\left( y+2 \right)=0\)

\(\Leftrightarrow 3Ax+3By-7A+6B=0\)

+ Mà \(d\left( M;d \right)=4\Leftrightarrow \frac{\left| 3A+6B-7A+6B \right|}{\sqrt{9{{A}^{2}}+9{{B}^{2}}}}=4\)

\(\Leftrightarrow 8{{A}^{2}}+6AB=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & A=0 \\ & 4A=-3B \\ \end{align} \right.\)

• Với A=0, chọn B=1

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng \(d:3x+6=0\Leftrightarrow y+2=0\)

• Với 4A=-3B, chọn \(A=3\Rightarrow B=-4\)

\(\Rightarrow \) Phương trình đường thẳng d:3x-4y-15=0

Vậy A+B=-1

Đáp án B

Bài 5: Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu đường thẳng song song với đường thẳng \(\Delta :3x+4y-2=0\) và cách \(M\left( 1;1 \right)\) một khoảng là 1? A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Lời giải

+ Gọi đường thẳng cần tìm là \(d//\Delta \Rightarrow d:3x+4y+c=0\,\left( c\ne -2 \right)\)

+ Mà \({{d}_{\left( M;d \right)}}=1\Rightarrow \frac{\left| 3+4+c \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=1\Leftrightarrow \left| 7+c \right|=5\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & c=-2\left( l \right) \\ & c=-13\left( t/m \right) \\ \end{align} \right.\Rightarrow \) có 1 đường thẳng thỏa mãn.

Đáp án B.

Bài 6: Trong mặt phẳng Oxy, cho \(\Delta {{ }_{1}}:\left\{ \begin{align} & x=1+t \\ & y=4-2t \\ \end{align} \right.\) và \({{\Delta }_{2}}:x-3y+9=0\), điểm \(P\left( -1;3 \right)\). Đường thẳng đi qua P và cắt \({{\Delta }_{1}},\,{{\Delta }_{2}}\) tại A, B sao cho P là trung điểm của AB. Khi đó khoảng cách từ \(M\left( 1;-1 \right)\) đến đường thẳng d là A. \(\frac{6\sqrt{5}}{5}\) B. \(5\sqrt{2}\) C. 5 D. \(2\sqrt{5}\)

Lời giải

+ \(A\in {{\Delta }_{1}}\Rightarrow A\left( 1+t;4-2t \right)\)

+ \(B\in {{\Delta }_{2}}:x=3y-9\Rightarrow B\left( 3b-9;b \right)\)

+ \(P\left( -1;3 \right)\) là trung điểm AB

\(\Rightarrow \left\{ \begin{align} & \frac{1+t+3b-9}{2}=-1 \\ & \frac{4-2t+b}{2}=3 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t+3b=6 \\ & -2t+b=2 \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & t=0 \\ & b=2 \\ \end{align} \right.\)

\(\Rightarrow A\left( 1;4 \right),\,\,B\left( -3;2 \right)\)

\(\Rightarrow d:\frac{x-1}{-3-1}=\frac{y-4}{2-4}\Leftrightarrow d:x-2y+7=0\)

\(\Rightarrow d\left( M;d \right)=\frac{1-2\left( -1 \right)+7}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}}=\frac{10}{\sqrt{5}}=2\sqrt{5}\)

Đáp án D.

 

Trên đây là toàn bộ nội dung tài liệu Lý thuyết và bài tập về Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!