Lý thuyết và bài tập về Góc giữa hai đường thẳng Toán 10

a. Cho \({{\Delta }_{1}}\) và \({{\Delta }_{2}}\) cắt nhau tạo thành 4 góc:

+ Nếu \({{\Delta }_{1}}\) không vuông góc với \({{\Delta }_{2}}\) thì góc nhọn trong 4 góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}\Rightarrow \left( \widehat{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}} \right)<{{90}^{0}}\)

+ Nếu \({{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\) thì góc giữa chúng là \({{90}^{0}}.\)

+ Nếu \({{\Delta }_{1}}//{{\Delta }_{2}}\) (hoặc \({{\Delta }_{1}}\equiv {{\Delta }_{2}}\) ) góc giữa chúng là \({{0}^{0}}.\)

b. Cho 2 đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:Ax+By+C=0\) có VTPT \(n\overrightarrow{_{1}}=\left( A;B \right)\)

                                    \({{\Delta }_{2}}:{A}'x+{B}'y+{C}'=0\) có VTPT \(n\overrightarrow{_{2}}=\left( {A}';{B}' \right)\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa \(\Delta _{1}^{{}}v\grave{a}{{\Delta }_{2}}\)

\(\Rightarrow \varphi =\left( \widehat{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}} \right)\Rightarrow \cos \varphi =\cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right)=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\Rightarrow \cos \varphi =\frac{\left| A{A}'+B{B}' \right|}{\sqrt{{{A}^{2}}+{{B}^{2}}}\sqrt{{{{{A}'}}^{2}}+{{{{B}'}}^{2}}}}\) (6)

Chú ý:

\(\left\| \begin{align} & \varphi =\left( \widehat{{{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}} \right)\Rightarrow 0\le \varphi \le {{90}^{0}} \\ & {{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow \overrightarrow{{{n}_{1}}}\bot \overrightarrow{{{n}_{2}}} \Leftrightarrow \overrightarrow{n_{1}^{{}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow A{A}'+B{B}'=0 \\ & {{\Delta }_{1}}:y={{k}_{1}}x+{{m}_{1}};{{\Delta }_{2}}:y={{k}_{2}}x+{{m}_{2}}\Rightarrow {{\Delta }_{1}}\bot {{\Delta }_{2}}\Leftrightarrow {{k}_{1}}{{k}_{2}}=-1 \\ \end{align} \right.\)

Ví dụ: Trong mặt phẳng Oxy, cho \({{d}_{1}}:x-2y+5=0\) và \({{d}_{2}}:3x-y+1=0\), góc giữa d1 và d2 là: A. \({{30}^{0}}.\) B. \({{45}^{0}}.\) C. \({{60}^{0}}.\) D. \({{90}^{0}}.\)

Lời giải:

+ VTPT của d1 và d2 lần lượt là: \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1;-2 \right);\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1 \right)\)

+ Gọi \(\varphi \) là góc giữa \({{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}}.\) Khi đó:

                        \(\cos \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\left| 1.3+\left( -2 \right).(-1) \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{\left( -2 \right)}^{2}}}\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow \varphi ={{45}^{0}}.\)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) biết \(\overrightarrow{a}=\left( 1;\,-2 \right)\), \(\overrightarrow{b}\left( -1;\,-3 \right)\). Tính góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\). A. \(45{}^\circ \). B. \(60{}^\circ \). C. \(30{}^\circ \). D. \(135{}^\circ \).

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\cos \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b} \right|} =\frac{-1+6}{\sqrt{5}.\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Vậy \(\left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)=45{}^\circ \).

Bài 2: Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:2x-4y-3=0\) và \({{d}_{2}}:3x-y+17=0\). Số đo góc giữa \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là A. \(\frac{\pi }{4}\). B. \(\frac{\pi }{2}\). C. \(\frac{3\pi }{4}\). D. \(-\frac{\pi }{4}\).

Lời giải

Chọn A.

Ta có \(\cos \left( {{d}_{1}},{{d}_{2}} \right)=\frac{\left| 2.3+\left( -4 \right).\left( -1 \right) \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -4 \right)}^{2}}}.\sqrt{{{3}^{3}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}}=\frac{10}{10\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Suy ra số đo góc giữa \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(\frac{\pi }{4}\).

Bài 3: Cho hai đường thẳng \({{d}_{1}}:x-y-2=0\) và \({{d}_{2}}:2x+3y+3=0\). Góc tạo bởi đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là ( chọn kết quả gần đúng nhất ) A. \(11{}^\circ 1{9}'\). B. \(78{}^\circ 4{1}'\).   C. \(101{}^\circ 1{9}'\). D. \(78{}^\circ 3{1}'\)

Lời giải

Chọn B.

\({{d}_{1}}:x-y-2=0\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( 1\,;\,-1 \right)\)

\({{d}_{2}}:2x+3y+3=0\) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 2\,;\,3 \right)\)

Gọi góc tạo bởi đường thẳng \({{d}_{1}}\) và \({{d}_{2}}\) là \(\varphi \).

Ta có \(\cos \varphi =\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}\)

\(=\frac{\left| 2-3 \right|}{\sqrt[{}]{{{1}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}}.\sqrt[{}]{{{2}^{2}}+{{3}^{2}}}}\)

\(=\frac{\sqrt[{}]{26}}{26}\Rightarrow \varphi \approx 78{}^\circ 4{1}'\)

...

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Phương pháp viết phương trình đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau Toán 10 có đáp án chi tiết. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Chúc các em học tốt!