Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng

Viết phương trình tham số và chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.

b) Các đường thẳng đi qua điểm M0(x0; y0 ; z0) (với \({x_0}.{y_0}.{z_0} \ne 0\) và song song với mỗi trục tọa độ;

c) Đường thẳng đi qua M(2; 0; −1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( - 1;3;5)\)

d) Đường thẳng đi qua N(−2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = ( 0; 0; -3)\)

e) Đường thẳng đi qua N(3; 2; 1) và vuông góc với mặt phẳng 2x − 5y + 4 = 0

g) Đường thẳng đi qua P(2; 3; −1) và Q(1; 2; 4)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Trục Ox đi qua O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow i  = (1;0;0)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 0\\
z = 0
\end{array} \right.\)

Tương tự, trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = t\\
z = 0
\end{array} \right.\)

Tương tự, trục Oz có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0\\
z = t
\end{array} \right.\)

Các phương trình đó không có phương trình chính tắc.

Câu b:

Đường thẳng đi qua M0(x0; y0; z0)  song song với trục Ox có vectơ chỉ phương  \(\overrightarrow i  = (1;0;0)\) nên có phương trình tham số là 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow i  = (1;0;0)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} + t\\
y = {y_0}\\
z = {z_0}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Tương tự đường thẳng đi qua M0 với trục Oy có phương trình tham số là 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow i  = (1;0;0)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} \\
y = {y_0}+t\\
z = {z_0}
\end{array} \right.
\end{array}\)

Đường thẳng đi qua M0 với trục Oz có phương trình tham số là 

\(\begin{array}{l}
\overrightarrow i  = (1;0;0)\\
\left\{ \begin{array}{l}
x = {x_0} \\
y = {y_0}\\
z = {z_0} + t
\end{array} \right.
\end{array}\)

Câu c:

Đường thẳng đi qua M(2; 0; −1) có vectơ chỉ phương có phương trình tham số: \(\vec u = \left( { - 1;3;5} \right)\) Tương tự đường thẳng đi qua M0 với trục Oy có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 3t\\
z =  - 1 + 5t
\end{array} \right.\) và có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{y}{3} = \frac{{z + 1}}{5}\)

Câu d:

Đường thẳng đi qua N(−2; 1; 2) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {0;0; - 3} \right)\) có phương trình tham số

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2\\
y = 1\\
z = 2 - 3t
\end{array} \right.\)

=> Không có phương trình chính tắc

Câu e:

Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u \) của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng 2x − 5y + 4 = 0 nên \(\overrightarrow u  = \left( {2; - 5;0} \right)\).

Vậy đường thẳng có phương trình tham số\

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 3 + 2t\\
y = 2 - 5t\\
z = 1
\end{array} \right.\)

Không có phương trình chính tắc

Câu g:

Đường thẳng đi qua P(2; 3; −1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 1; - 1;5} \right)\) nên có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - t\\
y = 3 - t\\
z =  - 1 + 5t
\end{array} \right.\)

Phương trình chính tắc \(\frac{{x - 2}}{{ - 1}} = \frac{{y - 3}}{{ - 1}} = \frac{{z + 1}}{5}\)

---

Viết phương trình tham số, chính tắc (nếu có) của các đường thẳng sau đây:

a) Đường thẳng đi qua điểm (4; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 3t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)

b) Đường thẳng đi qua điểm (-2; 3; 1) và song song với đường thẳng có phương trình: \(\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{3}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2; - 3;2)\). Đường thẳng cần tìm đi qua A(4; 3; 1) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2; - 3;2)\) nên có phương trình tham số là 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 4 + 2t\\
y = 3 - 3t\\
z = 1 + 2t
\end{array} \right.\)

và có phương trình chính tắc \(\frac{{x - 4}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 3}} = \frac{{z - 1}}{2}\)

Câu b:

Đường thẳng đã cho có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2; 1; 3)\)

Đường thẳng cần tìm có phương trình \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y - 3}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 2 + 2t\\
y = 3 + t\\
z = 1 + 3t
\end{array} \right.\)

---

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{1}\) trên mỗi mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 2 + 3t\\
z = 3 + t
\end{array} \right.\)

Mỗi điểm M(x; y; z) ∈ d có hình chiếu trên mp(Oxy) là điểm M’(x; y; 0) , d’ là hình chiếu của d trên mp(Oxy). Vậy d’ có phương trình tham số là  \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  - 2 + 3t\\
z = 0
\end{array} \right.\)

Phương trình hình chiếu của d trên mp(Oxz), mp(Oyz) lần lượt là:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y =  -0\\
z = 3+t
\end{array} \right.\) và \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y =  - 2 + 3t\\
z = 3+t
\end{array} \right.\)

---

Cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = 8 + 4t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\) và mặt phẳng (P): x + y + z − 7 = 0

a) Tìm một vectơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với mp(P).

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mp(P).

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Một vectơ chỉ phương của d là \(\overrightarrow u  = (1;4;2)\). Cho t = 0 ta có một điểm M0(0; 8; 3) nằm trên d.

Câu b:

Vectơ pháp tuyến của mp(P) là \({{\vec n}_P} = \left( {1;1;1} \right)\). Gọi (α) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với \(\overrightarrow u \) và \({{\vec n}_P}\)  nên ta lấy \({{\vec n}_{\left( \alpha  \right)}} = \left[ {\vec u;{{\vec n}_P}} \right] = \left( {2;1; - 3} \right)\)

Mp(α) đi qua M0(0; 8; 3) và có vectơ pháp tuyến \({{\vec n}_{\left( \alpha  \right)}} = (2;1; - 3)\) nên có phương trình: 

\(2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 8} \right) - 3\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 3z + 1 = 0\)

Câu c:

Vì d không vuông góc với (P) nên hình chiếu của d trên (P) là đường thẳng d’, d’ là giao tuyến của (α) và (P): 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x + y + z - 7 = 0\\
2x + y - 3z + 1 = 0
\end{array} \right.\)

Cho z = 0 ta có x = – 8; y = 15, d’ qua A(– 8; 15; 0).
d’ có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 8 + 4t\\
y = 15 + 5t\\
z =  - t
\end{array} \right.\)

---

Xác định vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng d và d’ cho bởi phương trình:

a) \(d:\frac{{x - 1}}{2} = y - 7 = \frac{{z - 3}}{4};d':\frac{{x - 3}}{6} = \frac{{y + 1}}{{ - 2}} = \frac{{z + 2}}{1}\)

b) 

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 3 - 4t\\
z =  - 3 - 3t
\end{array} \right.\) d’ là giao tuyến của hai mặt phẳng (α): x + y − z = 0, (α′):2x − y + 2z = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng d đi qua M(1; 7; 3) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = (2;1;4)\). Đường thẳng d’ đi qua M′(3;−1;−2) và có vectơ chỉ phương \({{\vec u}^\prime } = \left( {6; - 2;1} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {2; - 8; - 5} \right)\) và \(\left[ {\vec u;{{\vec u}^\prime }} \right] = \left( {9;22; - 10} \right) \Rightarrow \left[ {\vec u;{{\vec u}^\prime }} \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 108 \ne 0\)

Vậy d và d’ chéo nhau

Câu b:

Đường thẳng d đi qua M(0;−3;−3) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)

Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương 

\(\overrightarrow u  = \left[ {\overrightarrow {{n_{\left( \alpha  \right)}}} ;\overrightarrow {{n_{\left( {\alpha '} \right)}}} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&{ - 1}\\
{ - 1}&2
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{ - 1}&1\\
2&2
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
2&{ - 1}
\end{array}} \right|} \right) = \left( {1; - 4; - 3} \right)\)

d và d’ có cùng vectơ chỉ phương và M(0; −3; −3) không nằm trên d’ nên d và d’ song song.

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; −1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau:

\(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = t\\
z = 3 - t
\end{array} \right.;d\prime :\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y =  - 1 - 2t\\
z = 2 + t
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Lấy điểm M(1+2t, t, 3−1) nằm trên d và điểm M′(t′,−1−2t′,2+t′) nằm trên d’.
Rõ ràng A ∉ d và A ∉ d′. Ta tìm t và t’ sao cho A, M, M’ thẳng hàng, tức \(\overrightarrow {AM} \) và \(\overrightarrow {AM'} \) cùng phương.

Ta có: \(\overrightarrow {AM}  = \left( {2t,1 + t,2 - t} \right);\overrightarrow {AM'}  = \left( { - 1 + t', - 2t',1 + t'} \right)\)

\(\begin{array}{l}
\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} } \right] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{1 + t}&{2 - t}\\
{ - 2t'}&{1 + t'}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2 - t}&{2t}\\
{1 + t'}&{ - 1 + t'}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
{2t}&{1 + t}\\
{ - 1 + t'}&{ - 2t'}
\end{array}} \right|} \right)\\
 = (1 + t + 5t\prime  - tt\prime ; - 2 - t + 2t\prime  - 3tt\prime ;1 + t - t\prime  - 5tt\prime )
\end{array}\)

Hai vecto \({\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} }\) cùng phương khi \(\left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {AM'} } \right] = \overrightarrow 0 \) hay \(\left\{ \begin{array}{l}
1 + t + 5t\prime  - tt\prime  = 0\\
 - 2 - t + 2t\prime  - 3tt\prime  = 0\\
1 + t - t\prime  - 5tt\prime  = 0
\end{array} \right.\)

Khử số hạng tt’ từ các phương trình trên, ta được hệ \(\left\{ \begin{array}{l}
5 + 4t + 13t\prime  = 0\\
4 + 4t + 26t\prime  = 0
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow t =  - \frac{3}{2};t' = \frac{1}{{13}}\). Khi đó \(\overrightarrow {AM}  = \left( { - 3; - \frac{1}{2};\frac{7}{2}} \right)\)

Gọi Δ là đường thẳng đi qua A và M, Δ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = 2\overrightarrow {AM}  = ( - 6; - 1;7)\) nên có phương trình tham số là: 

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 - 6t\\
y =  - 1 - t\\
z = 1 + 7t
\end{array} \right.\)

---

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d1d1 và cắt cả hai đường thẳng d2 và d3, biết phương trình của d1, d2 và d3 là:

\(\begin{array}{l}
{d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 2 + 4t\\
z = 1 - t
\end{array} \right.\\
{d_2}:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\\
{d_3}:\left\{ \begin{array}{l}
x =  - 4 + 5t'\\
y =  - 7 + 5t'\\
z = t'
\end{array} \right.
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương \({{\vec u}_1} = \left( {0;4; - 1} \right)\), d2 có phương trình tham số là

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 2 + 4t\\
z = 2 + 3t
\end{array} \right.\)

Lấy điểm M2(1 + t; −2 + 4t; 2 + 3t) trên d2d2 và M3(−4 + 5t′;−7 + 9t′; t′) trên d3. Ta tìm t và t’ để \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \({{\vec u}_1}\)

Ta có : 

\(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( { - 5 + 5t' - t; - 5 + 9t' - 4t; - 2 + t' - 3t} \right),\overrightarrow {{M_2}{M_3}} \) cùng phương với \({{\vec u}_1}\) khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
 - 5 + 5t\prime  - t = 0\\
\frac{{ - 5 + 9t\prime  - 4t}}{4} = \frac{{ - 2 + t\prime  - 3t}}{{ - 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t = 0\\
t\prime  = 1
\end{array} \right.\)

Khi đó M2(1; −2; 2) và \(\overrightarrow {{M_2}{M_3}}  = \left( {0;4; - 1} \right)\)
Vậy Δ qua M2, M3 có phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y =  - 2 + 4t\\
z = 2 - t
\end{array} \right.\)

Rõ ràng M2 ∉ d1. Vậy Δ chính là đường thẳng cần tìm.

---

Cho hai đường thẳng \({d_1}:\left\{ \begin{array}{l}
x = 8 + t\\
y = 5 + 2t\\
z = 8 - t
\end{array} \right.;{d_2}:\frac{{3 - x}}{7} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}\)

a) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng đó chéo nhau.

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O và song song với d1 và d2.

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d1 và d2

d) Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng d1 đi qua M1(8; 5; 8) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} (1;2; - 1)\)

Đường thẳng d2 đi qua M2(3; 1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}} ( - 7;2;3)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = (5;4;7);[\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ] = (8;4;16)\)

Do đó \([\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} ].\overrightarrow {{M_2}{M_1}}  = 168 \ne 0\)

Vậy hai đường thẳng d1 và d2 chéo nhau

Câu b:

Gọi (α) là mặt phẳng qua O song song với cả d1 và d2. Mp(α) có vectơ pháp tuyến là \(\vec n = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2;1;4} \right)\)

Vậy \(\left( \alpha  \right):2\left( {x - 0} \right) + 1\left( {y - 0} \right) + 4\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 4z = 0\)

Rõ ràng M1, M2 ∉ (α). Vậy (α) chính là mặt phẳng cần tìm.

Câu c:

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:

\(d = \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_2}{M_1}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}} = \frac{{168}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2} + {{16}^2}} }} = 2\sqrt {21} \)

Câu d:

Giả sử PQ là đường vuông góc chung của d1 và d2 với P ∈ d1; Q ∈ d2. Khi đó ta có các giá trị t và t’ sao cho: P(8 + t; 5 + 2t; 8 − t), Q(3 − 7t′;1 + 2t′; 1 + 3t′)

Ta có: \(\overrightarrow {PQ}  = \left( { - 5 - 7t' - t; - 4 + 2t' - 2t; - 7 + 3t' + t} \right)\)

\(\overrightarrow {PQ} \) đồng thời vuông góc với hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) nên

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_1}}  = 0\\
\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {{u_2}}  = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 5 - 7t\prime  - t + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t) - ( - 7 + 3t\prime  + t) = 0\\
 - 7( - 5 - 7t\prime  - t) + 2( - 4 + 2t\prime  - 2t) + 3( - 7 + 3t\prime  + t)
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 - 6t\prime  - 6t = 6\\
62t\prime  + 6t =  - 6
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
t\prime  = 0\\
t =  - 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Vậy P(7; 3; 9), Q(3; 1; 1) và do đó, đường vuông góc chung của d1 và d2 có phương trình:

\(\frac{{x - 3}}{{7 - 3}} = \frac{{y - 1}}{{3 - 1}} = \frac{{z - 1}}{{9 - 1}} \Leftrightarrow \frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{4}\)

---

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α) có phương trình \(d:\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{5};\left( \alpha  \right):2x + y + z - 8 = 0\)

a) Tìm góc giữa d và (α)
b) Tìm tọa độ giao điểm của d và (α)
c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (α)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương , mp(α) có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u  = (2;3;5)\). Gọi φ là góc giữa d và (α) thì 0 ≤ φ ≤ 900 và \(\sin \varphi  = \frac{{\left| {\vec u.\vec n} \right|}}{{\left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|}} = \frac{{\left| {2.2 + 3.1 + 5.1} \right|}}{{\sqrt {4 + 9 + 25} .\sqrt {4 + 1 + 1} }} = \frac{6}{{\sqrt {57} }}\)

Câu b:

Phương trình tham số \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 + 2t\\
y =  - 1 + 3t\\
z = 1 + 5t
\end{array} \right.\)

Thay x, y, z vào phương trình (α) ta có: \(2(2 + 2t) + ( - 1 + 3t) + (1 + 5t) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow M\left( {\frac{8}{3};0;\frac{8}{3}} \right)\)

Câu c:

Gọi (β) là mặt phẳng đi qua d và vuông góc với (α) thì hình chiếu d’ của d trên (α) là giao tuyến của (α) và (β). Bởi vậy ta cần tìm phương trình của (β). Vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{(\beta )}}} \) của (β) vuông góc với cả \(\overrightarrow u ;\overrightarrow n \) nên ta chọn \(\overrightarrow {{n_\beta }}  = \left[ {\vec u,\vec n} \right] = \left( { - 2;8; - 4} \right)\)

(β) đi qua d nên cũng đi qua điểm A(2; −1; 1). Do đó (β) có phương trình:

\( - 2\left( {x - 2} \right) + 8\left( {y + 1} \right) - 4\left( {z - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - x + 4y - 2z + 8 = 0\)

Hình chiếu d’ qua I và có vectơ chỉ phương:

\(\overrightarrow a  = [\overrightarrow {{n_\alpha }} ;\overrightarrow {{n_\beta }} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1\\
4&{ - 2}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&2\\
{ - 2}&{ - 1}
\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
2&1\\
{ - 1}&4
\end{array}} \right|} \right) = ( - 6;3;9) = 3( - 2;1;3)\)

Vậy d' có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{8}{3} - 2t\\
y = t\\
z = \frac{8}{3} + 3t
\end{array} \right.\)

---

Cho đường thẳng Δ và mp(P) có phương trình: \(\Delta :\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{2} = \frac{{z - 3}}{2};\left( P \right):2x + z - 5 = 0\)

a) Xác định tọa độ giao điểm A của Δ và (P).

b) Viết phương trình đường thẳng đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với Δ

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Phương trình tham số của Δ là: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y = 2 + 2t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.\)

Thay x, y, z vào phương trình của mp(P) ta được:
2(1 + t) + 3 + 2t − 5 = 0 <=> t = 0
Vậy giao điểm của Δ và mp(P) là A(1; 2; 3).

Câu b:

Gọi d là đường thẳng đi qua A nằm trong (P) và vuông góc với Δ. Vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'} \) của d phải vuông góc với chỉ phương \(\overrightarrow {u} \) = (1; 2; 2) của Δ đồng thời vuông góc với cả vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow u'} \) = (2; 0; 1) của (P) nên ta chọn \(\overrightarrow {u'}  = [\overrightarrow u ,\overrightarrow n ] = (2;3; - 4\)

Vậy d có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = 2 + 3t\\
z = 3 - 4t
\end{array} \right.\)

---

a) Tính khoảng cách từ điểm M(2; 3; 1) đến đường thẳng Δ có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\)

b) Tính khoảng cách từ điểm N(2;3;−1) đến đường thẳng Δ đi qua điểm  \({M_0}\left( { - \frac{1}{2};0; - \frac{3}{4}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 4;2; - 1} \right)\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng Δ đi qua M₀(−2;1;−1) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( {1;2; - 2} \right)\)

Ta có: \(\overrightarrow {{M_0}M}  = \left( {4;2;2} \right);\left[ {\vec u;\overrightarrow {{M_0}M} } \right] = \left( {8; - 10; - 6} \right)\)

Vậy khoảng cách cần tìm là \(d = \frac{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {{M_0}M} } \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {{8^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 6} \right)}^2}} }}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = \frac{{10\sqrt 2 }}{3}\)

Câu b:

Ta có: \(\overrightarrow {{M_0}N}  = \left( {\frac{5}{2};3; - \frac{1}{4}} \right);\left[ {\vec u;\overrightarrow {{M_0}N} } \right] = \left( {\frac{5}{2}; - \frac{7}{2};17} \right)\)

Vậy khoảng cách là: \(d = \frac{{\left| {\left[ {\vec u;\overrightarrow {{M_0}N} } \right]} \right|}}{{|\vec u|}} = \frac{{\sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{7}{2}} \right)}^2} + {{17}^2}} }}{{\sqrt {{4^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {2970} }}{{14}}\)

---

Tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + t\\
y =  - 1 - t\\
z = 1
\end{array} \right.;d':\left\{ \begin{array}{l}
x = 2 - 3t'\\
y =  - 2 - 3t'\\
z = 3
\end{array} \right.\)

b) \(d:\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}};d':\left\{ \begin{array}{l}
x =  - t'\\
y = 2 + 3t'\\
z =  - 4 + 3t'
\end{array} \right.\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đường thẳng d đi qua M1(1; −1; 1) có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {1; - 1;0} \right)\)

Đường thẳng d’ đi qua điểm M2(2; −2; 3), có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_2}}  = \left( {-1; 1;0} \right)\). 

Vì \(\overrightarrow {{u_1}} \) và  \(\overrightarrow {{u_2}} \) cùng phương nhưng \(\overrightarrow {{u_1}} \) ;  \(\overrightarrow {{u_2}} \) không cùng phương với \(\overrightarrow {{M_1}{M_2}}  = \left( {1; - 1;2} \right)\) nên hai đường thẳng đó song song.
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng đó bằng khoảng cách từ M1 tới d’

\(\frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{M_1}{M_2}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{|\overrightarrow {{u_2}} |}} = 2\)

Câu b:

Đường thẳng d đi qua M(0;4;−1) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = \left( { - 1;1; - 2} \right)\)

Đường thẳng d’ đi qua M′(0;2;−4) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {u'}  = \left( { - 1;3;3} \right)\)

Ta có \(\overrightarrow {MM'}  = \left( {0; - 2; - 3} \right){\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} ;{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left[ {\vec u;\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {9;5; - 2} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'}  =  - 4 \ne 0 \Rightarrow d\) và d' chéo nhau

Khoảng cách giữa d1 và d2 là: 

\(d = \frac{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].\overrightarrow {MM'} } \right|}}{{\left| {\left[ {\vec u,\overrightarrow {u'} } \right].} \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {{9^2} + {5^2} + {2^2}} }} = \frac{{2\sqrt {110} }}{{55}}\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!