Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(u = \sqrt {1 - {x^3}}  \Rightarrow {u^2} = 1 - {x^3} \Rightarrow 2udu =  - 3{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx =  - \frac{2}{3}udu\)

Ta có: \(\int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 - {x^3}} }}dx = } \int {\frac{{9.\frac{2}{3}udu}}{u} = }  - 6\int {du =  - 6u + C =  - 6\sqrt {1 - {x^3}}  + C} \)

Câu b:

Đặt \(u = \sqrt {5x + 4}  \Rightarrow {u^2} = 5x + 4 \Rightarrow 2udu = 5dx \Rightarrow dx = \frac{{2u.du}}{5}\)

Do đó: 

\(f(x) = \int {\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}}  = \mathop \smallint \nolimits^ \frac{{2udu}}{{5u}} = \frac{2}{5}u + C = \frac{2}{5}\sqrt {5x + 4}  + C\)

Câu c:

Đặt \(u = \sqrt[4]{{1 - {x^2}}} \Rightarrow {u^4} = 1 - {x^2} \Rightarrow 4{u^3}du =  - 2xdx \Rightarrow xdx =  - 2{u^3}du\)

Do đó: \(\smallint x\sqrt[4]{{1 - {x^2}}}dx = \smallint  - 2{u^4}du = \frac{{ - 2{u^5}}}{5} + C =  - \frac{2}{5}x\sqrt[4]{{{{\left( {1 - {x^2}} \right)}^5}}} + C\)

Câu d:

Đặt \(u = 1 + \sqrt x  \Rightarrow du = \frac{{du}}{{2\sqrt x }} \Rightarrow \frac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2du\)

\( \Rightarrow \int {\frac{{dx}}{{\sqrt x {{\left( {1 + \sqrt x } \right)}^2}}}}  = \int {\frac{{2du}}{{{u^2}}}}  =  - \frac{2}{u} + C =  - \frac{2}{{1 + \sqrt x }} + C.\)

---

Dùng phương pháp lấy số nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = x\sin x\frac{x}{2}\\
b)f(x) = {x^2}cosx\\
c)f(x) = x{e^x}\\
d)f(x) = {x^3}lnx
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = sin\frac{x}{2}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v =  - 2\cos \frac{x}{2}
\end{array} \right.\)

Do đó \(\int {xsinx\frac{x}{2}dx}  =  - 2xcos\frac{x}{2} + 2\int {cos\frac{x}{2}dx}  =  - 2xcos\frac{x}{2} + 4sin\frac{x}{2} + C\)

Câu b:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = \cos xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} 
\end{array} \right.\)

Do đó: \(\mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\cos xdx = {x^2}{\rm{sinx}} - 2\mathop \smallint \nolimits^ x\sin xdx{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\)

Tính \(\smallint xsinxdx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = sinxdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v =  - {\mathop{\rm cosx}\nolimits} 
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ x\sin xdx =  - x\cos x + \mathop \smallint \nolimits^ \cos xdx =  - x\cos x + {\rm{sinx}} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} C\)

Thay vào (1) ta được

\(\smallint {x^2}cosxdx = {x^2}sinx + 2xcosx - 2sinx + C\)

Câu c: 

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

Do đó: \(\mathop \smallint \nolimits^ x{e^x}dx = x{e^x} - \mathop \smallint \nolimits^ {e^x}dx = x{e^x} - {e^x} + C\)

Câu d:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = {x^3}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{1}{x}dx\\
v = \frac{{{x^4}}}{4}
\end{array} \right.\)

Do đó: \(\smallint {x^3}lnxdx = \frac{1}{4}{x^4}lnx - \frac{1}{4}\smallint {x^3}dx = \frac{1}{4}{x^4}lnx - \frac{{{x^4}}}{{16}} + C\)

---

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} \\
b){\mkern 1mu} {\kern 1pt} f\left( x \right) = \cos \left( {3x + 4} \right)\\
c)f\left( x \right) =  - \frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}}\\
d)f(x) = si{n^5}\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(u = \sqrt {7 - 3{x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 7 - 3{x^2} \Rightarrow 2udu =  - 6xdx \Rightarrow 3xdx =  - udu\)

Do đó: \(\mathop \smallint \nolimits^ 3x\sqrt {7 - 3{x^2}} dx =  - \mathop \smallint \nolimits^ {u^2}du =  - \frac{{{u^3}}}{3} + C =  - \frac{1}{3}\sqrt {{{\left( {7 - 3{x^2}} \right)}^3}}  + C\) 

Câu b:

\(\mathop \smallint \nolimits^ \cos \left( {3x + 4} \right)dx = \frac{1}{3}\sin \left( {3x + 4} \right) + C\)

Câu c:

\(\mathop \smallint \nolimits^ \frac{{dx}}{{{{\cos }^2}\left( {3x + 2} \right)}} = \frac{1}{3}\tan \left( {3x + 2} \right) + C\)

Câu d:

Đặt \(u = \sin \frac{x}{3} \Rightarrow du = \frac{1}{3}\cos \frac{x}{3}dx \Rightarrow \cos \frac{x}{3}dx = 3du\)

Do đó \(\smallint si{n^5}\frac{x}{3}cos\frac{x}{3}dx = 3\smallint {u^5}du = \frac{{{u^6}}}{2} + C = \frac{1}{2}si{n^6}\left( {\frac{x}{3}} \right) + C.\)

---

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = {x^2}\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} - 1} \right)\\
b)f\left( x \right) = \frac{1}{{{x^2}}}{\rm{sin}}\frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\\
c)f\left( x \right) = {x^3}{e^x}\\
d)f(x) = {e^{\sqrt {3x - 9} }}
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(u = \frac{{{x^3}}}{{18}} - 1 \Rightarrow du = \frac{1}{6}{x^2}dx \Rightarrow {x^2}dx = 6du\)

Do đó \(\mathop \smallint \nolimits^ {x^2}{\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} - 1} \right)^5}dx = \mathop \smallint \nolimits^ 6{u^5}du = {u^6} + C = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} - 1} \right)^6} + C\)

Câu b: 

Đặt \(u = sin\frac{1}{x} \Rightarrow du =  - \frac{1}{{{x^2}}}cos\frac{1}{x}dx \Rightarrow \frac{1}{{{x^2}}}cos\frac{1}{x}dx =  - du\)

\( \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ \frac{1}{{{x^2}}}\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx =  - \mathop \smallint \nolimits^ udu =  - \frac{{{u^2}}}{2} + C =  - \frac{1}{2}{\sin ^2}\left( {\frac{1}{x}} \right) + C\)

Câu c:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^3}\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 3{x^2}dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow I = \smallint {x^3}{e^x}dx = {x^3}{e^x} - 3\smallint {x^2}{e^x}dx(1)\)

Tính \({I_1} = \smallint {x^2}{e^x}dx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right. \Rightarrow {I_2} = x{e^x} - \smallint {e^x}dx = {e^x}\left( {x - 1} \right) + C\)

Thay I2 vào (2) ta được \({I_1} = {x^2}{e^x} - 2{e^x}(x - 1) = {e^x}({x^2} - 2x + 2) + C\)

Thay I1 vào (1) ta được \(I = {x^3}ex - 3{e^x}({x^2} - 2x + 2) = {e^x}({x^3} - 3{x^2} + 6x - 6) + C\)

Câu d:

Đặt 

\(\begin{array}{l}
u = \sqrt {3x - 9}  \Rightarrow {u^2} = 3x - 9 \Rightarrow 2udu = 3dx \Rightarrow dx = \frac{{2udu}}{3}\\

\end{array}\)

Do đó: 

\(\begin{array}{l}
\mathop \smallint \nolimits^ {e^{\sqrt {3x - 9} }}dx = \frac{2}{3}\mathop \smallint \nolimits^ u{e^u}du = \frac{2}{3}{e^u}\left( {u - 1} \right) + C\\
 = \frac{2}{3}{e^{\sqrt {3x - 9} }}(\sqrt {3x - 9}  - 1) + C
\end{array}\)

---

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = {x^2}\cos 2x\\
b){\mkern 1mu} {\kern 1pt} f\left( x \right) = \sqrt x \ln x\\
c)f\left( x \right) = {\sin ^4}x\cos x\\
d)f(x) = xcos({x^2})
\end{array}\)

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = cos2xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = \frac{1}{2}\sin 2x
\end{array} \right.\)

Do đó \(\mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\cos 2xdx = \frac{1}{2}{x^2}\sin 2x - \mathop \smallint \nolimits^ x\sin 2xdx{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( 1 \right)\)

Tính \(\mathop \smallint \nolimits^ x\sin 2xdx\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = \sin 2xdx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = dx\\
v =  - \frac{1}{2}co{\mathop{\rm s}\nolimits} 2x
\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \smallint xsin2xdx =  - \frac{1}{2}xcos2x + \frac{1}{2}\smallint cos2xdx =  - \frac{1}{2}xcos2x - \frac{1}{4}sin2x + C\)

Thay vào (1) ta được \(\mathop \smallint \nolimits^ {x^2}\cos 2xdx = \frac{1}{2}{x^2}\sin 2x + \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{4}\sin 2x + C\)

Câu b:

Đặt

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln x\\
dv = \sqrt x dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dx}}{x}\\
v = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ \sqrt x \ln xdx = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x - \frac{2}{3}\mathop \smallint \nolimits^ {x^{\frac{1}{2}}}dx\\
 = \frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}\ln x - \frac{2}{3}.\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}} + C = \frac{2}{3}\sqrt {{x^3}} \ln x - \frac{4}{9}\sqrt {{x^3}}  + C
\end{array}\)

Câu c:

Đặt \(u = sinx \Rightarrow du = cosxdx\)

\( \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ {\sin ^4}x\cos xdx = \mathop \smallint \nolimits^ {u^4}du = \frac{{{u^5}}}{5} + C = \frac{1}{5}{\sin ^5}x + C.\)

Câu d:

Đặt \(u = {x^2} \Rightarrow du = 2xdx \Rightarrow xdx = \frac{1}{2}du\)

\( \Rightarrow \mathop \smallint \nolimits^ x\cos \left( {{x^2}} \right)dx = \frac{1}{2}\mathop \smallint \nolimits^ \cos udu = \frac{1}{2}\sin u + C = \frac{1}{2}{\rm{sin}}{{\rm{x}}^2} + C.\)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3  Bài 2 Một số phương pháp tìm nguyên hàm được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!