Đề thi HSG Toán 9 cấp Tỉnh 2017 có đáp án Sở GD&ĐT Quảng Ninh

Đề học sinh giỏi Toán 9 bảng A:

 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng A Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)

Bài 1: (3,5 điểm)

Cho biểu thức\(A = \frac{{5\sqrt x  + 4}}{{x - 5\sqrt x  + 4}} - \frac{{3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)    (với \(x \ge 0;x \ne 16;x \ne 1\))

 a) Rút gọn biểu thức A.

 b) Tìm giá trị của x để \(A < 1\).

Bài 2: (5,0 điểm)  

a) Giải phương trình:  \({x^2} + x + 6\sqrt {x + 1}  = 9\).

b) Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} - 5xy = 10{\rm{}}\\xy - {\rm{ }}4x + 2y{\rm{ }} =  - 7{\rm{ }}\end{array} \right.\)

Bài 3: (2,5 điểm)

          Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1. \(n\) là bội số của 5.
2. \(n + 8\) là số chính phương.
3. \(n - 3\) là số chính phương.

Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn (\(A \ne B;C\)), D là điểm chuyển động trên \(\widehat {AC}\) . Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.

1. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
2. Chứng minh rằng \(BM.BD + CM.CA\) không đổi khi D di chuyển trên\(\widehat {AC}\).
3. Khi D di chuyển trên \(\widehat {AC}\) (\(D \ne C\)), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5: (2,0 điểm)

            Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = 2x + \sqrt {1 - 4x - 5{x^2}} \) với \( - 1 \le x \le \frac{1}{5}\). 

 

---

Đề học sinh giỏi Toán 9 bảng B:
 

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH        ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THCS NĂM 2017 Môn thi: TOÁN - Bảng B Ngày thi: 03/03/2017 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề (Đề thi này có 01 trang)

Bài 1: (3,5 điểm)

Cho biểu thức\(A = \frac{{5\sqrt x  + 4}}{{x - 5\sqrt x  + 4}} - \frac{{3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)    (với \(x \ge 0;x \ne 16;x \ne 1\))

1. Rút gọn biểu thức A.
2. Tìm giá trị của x để \(A < 1\).

Bài 2: (5,0 điểm)  

a) Giải phương trình:  \({x^2} + x + 6\sqrt {x + 1}  = 9\).

b) Giải hệ phương trình:  \(\left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} - 5xy = 10{\rm{ }}\\xy - {\rm{ }}4x + 2y{\rm{ }} =  - 7{\rm{ }}\end{array} \right.\)

Bài 3: (2,5 điểm)

          Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1. \(n\) là bội số của 5.
2. \(n + 8\) là số chính phương.
3. \(n - 3\) là số chính phương.

Bài 4: (7,0 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính BC. Gọi A là một điểm cố định trên nửa đường tròn (\(A \ne B;C\)), D là điểm chuyển động trên \(\widehat {AC}\). Hai đoạn thẳng BD và AC cắt nhau tại M, gọi K là hình chiếu của M trên BC.

1. Chứng minh M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ADK.
2. Chứng minh rằng \(BM.BD + CM.CA\) không đổi khi D di chuyển trên \(\widehat {AC}\).
3. Khi D di chuyển trên \(\widehat {AC}\) (\(D \ne C\)), chứng minh đường thẳng DK luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 5: (2,0 điểm)

            Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = 2x + \sqrt {1 - 4x - 5{x^2}} \) với \( - 1 \le x \le \frac{1}{5}\). 

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 bảng A:

Bài 1:

a)

\(A = \frac{{5\sqrt x  + 4}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{{3 - 2\sqrt x }}{{\sqrt x  - 4}} + \frac{{\sqrt x  + 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{5\sqrt x  + 4 + \left( {2\sqrt x  - 3} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right) + \left( {\sqrt x  + 2} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 4} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

= \(\frac{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {3\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  - 4} \right)}}\) \( = \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 4}}\)

b)

\(A < 1 \Leftrightarrow \frac{{3\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 4}} - 1 < 0 \Leftrightarrow \frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  - 4}} < 0\)

Có \(2\sqrt x  + 5 > 0\)

Nên \(\frac{{2\sqrt x  + 5}}{{\sqrt x  - 4}} < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  - 4 < 0 \Leftrightarrow \sqrt x  < 4 \Leftrightarrow 0 \le x < 16\)

(nếu không chỉ đủ kq là \(0 \le x < 16;x \ne 1\) thì không cho điểm bước này)

Kết hợp với điều kiện xác định ta tìm được \(0 \le x < 16;x \ne 1\)

 

⇒ Để xem tiếp đáp án chi tiết bài 2 đến bài 5 các em vui lòng xem tiếp trên web bằng cách xem Online hoặc đăng nhập vào Hoc247.net để tải về máy tính.

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 bảng B:

Bài 2:

a)

\({x^2} + x + 6\sqrt {x + 1}  = 9\) ( đkxđ x \( \ge  - 1\))

\( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 = x + 1 - 6\sqrt {x + 1}  + 9\)

\( \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} = {\left( {\sqrt {x + 1}  - 3} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow \)\(\left[ \begin{array}{l}x + 1 = \sqrt {x + 1}  - 3\\x + 1 =  - \sqrt {x + 1}  + 3\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \) \(\left[ \begin{array}{l}x + 4 = \sqrt {x + 1} \\2 - x = \sqrt {x + 1} \end{array} \right.\)

Trường hợp 1:  \(x + 4 = \sqrt {x + 1} \)

do \(x + 1 \ge 0 \Rightarrow x + 4 \ge 0\)

hai vế không âm bình phương

ta có x² + 8x + 16 = x + 1\( \Leftrightarrow \) x² + 7x + 15 = 0

\(\Delta  = {7^2} - 4.15 < 0\) \( \Rightarrow \) phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: \(2 - x = \sqrt {x + 1} \)\( \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 2{\rm{               (1)}}\\{x^2} - 4x + 4 = x + 1{\rm{   (2)}}\end{array} \right.\)

Pt(2) \( \Leftrightarrow {x^2} - 5x + 3 = 0\)

\(\Delta  = {( - 5)^2} - 3.4 = 13 > 0\)

Phương trình (2) có hai nghiệm x₁ = \(\frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}\) ; x₂ = \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\)

Đối chiếu với điều kiện (1) ta thấy

chỉ có nghiệm  x₂ = \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\) thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là \(\frac{{5 - \sqrt {13} }}{2}\)

b)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} + {y^2} - 4xy - 4x + 2y = 3\\xy - 4x + 2y =  - 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{(2x - y)^2} - 2(2x - y) - 3 = 0{\rm{  (1)}}\\xy - 4x + 2y =  - 7{\rm{(2) }}\end{array} \right.\end{array}\)

Pt(1) \( \Leftrightarrow \) \(\left( {2x - y + 1} \right)\left( {2x - y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 2x + 1\\y = 2x - 3\end{array} \right.\)

TH1: \(y = 2x + 1\)  thay vào phương trình (2) ta có

   \(2{x^2} + x + 9 = 0\)  (phương trình vô nghiệm)

TH2: \(y = 2x - 3\) thay vào phương trình (2) ta có

\(2{x^2} - 3x + 1 = 0\) phương trình có hai nghiệm \(\left[ \begin{array}{l}{x_1} = 1 \Rightarrow {y_1} =  - 1\\{x_2} = \frac{1}{2} \Rightarrow {y_2} =  - 2\end{array} \right.\)

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm \(\left( {1; - 1} \right)\) và\(\left( {\frac{1}{2}; - 2} \right)\)

 

⇒ Để xem hướng dẫn giải chi tiết các bài còn lại, các em vui lòng xem tiếp trên web bằng cách xem Online hoặc đăng nhập vào Hoc247.net để tải về máy tính.

 

Trên đây là nội dung của 2 đề thi HSG cấp tỉnh THCS năm 2017 bảng A và bảng B của Sở GD&ĐT Quảng Ninh. Để xem đầy đủ nội dung và đáp án chi tiết, các em vui lòng đăng nhập vào website hoc247.net, chọn Xem online hoặc Tải về. Chúc các em học thật tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi sắp tới.