Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN PHÚ LỘC ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP  HUYỆN NĂM HỌC 2016 - 2017 Môn thi: Toán – Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề

 

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức \(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x +  \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\).

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa.

2) Rút gọn biểu thức A.

3) Tìm giá trị của x để \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên.

Câu 2: (4,0 điểm)

 1) Giải phương trình: \({x^2} - 10x + 27 = \sqrt {6 - x}  + \sqrt {x - 4} \)

2) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = \frac{{x + 1}}{{{x^2} + x + 1}}\)

Câu 3: (4,0 điểm)

Cho hai đường thẳng: \(y = x + 3 ({d_1});y = 3x + 7 ({d_2})\)

1) Gọi A và B lần lượt là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) với trục Oy. Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn thẳng AB.

2) Gọi J là giao điểm của \(({d_1})\) và \(({d_2})\) . Tam giác OIJ là tam giác gì? Tính diện tích của tam giác đó.

Câu 4: (6,0 điểm)

Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Gọi M là đểm nằm giữa A và B. Qua M vẽ dây CD vuông góc với AB, lấy điểm E đối xứng với A qua M.

1) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

2) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC. Chứng minh rằng: \(\frac{{HM}}{{HK}} = \frac{{MK}}{{MC}} = \frac{{CD}}{{4R}}\)

3) Gọi C’ là điểm đối xứng với C qua A. Chứng minh rằng C’ nằm trên một đường tròn cố định khi M di chuyển trên đường kính AB (M khác A và B).

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn: a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

\(\frac{{c + ab}}{{a + b}} + \frac{{a + bc}}{{b + c}} + \frac{{b + ac}}{{a + c}} \ge 2\)

---

Đáp án đề thi HSG Toán 9 huyện Phú Lộc:

Câu 1: (4,0 điểm)

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

\(A = \left( {\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x +  \sqrt x  - 2}} + \frac{1}{{\sqrt x  - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 2}} - 2} \right):\frac{1}{{x - 1}}\)

\( = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}}.(x - 1)\)

\( = \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 2)}}.(\sqrt x  - 1)(\sqrt x  + 1) = {(\sqrt x  + 1)^2}\)

Với điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\x \ne 1\end{array} \right.\)

Ta có: \(A = {(\sqrt x  + 1)^2}\)

Vì \(A = {(\sqrt x  + 1)^2} \ge 1\) với mọi \(x \ge 0\) nên \(0 \le \frac{2}{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}} \le 2\)

Do đó:  \(\frac{2}{A} = \frac{2}{{{{(\sqrt x  + 1)}^2}}} \in {\rm N}\) khi \({(\sqrt x  + 1)^2} = 1\)hoặc \({(\sqrt x  + 1)^2} = 2\)

Mà \(\sqrt x  + 1 > 0\) nên \(\sqrt x  + 1 = 1\) hoặc  \(\sqrt x  + 1 = \sqrt 2 \)

Do đó: x = 0 hoặc \(x = {(\sqrt 2  - 1)^2} = 3 - 2\sqrt 2 \)

Vậy \(\frac{2}{A}\) là số tự nhiên khi x = 0 hoặc \(x = 3 - 2\sqrt 2 .\)

 

⇒ Trên đây là một phần trích đáp án và toàn bộ nội dung Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2017 Phòng GD&ĐT Phú Lộc. Để xem tiếp các đáp án còn lại các em có thể xem Online hoặc tải về máy tính bằng cách đăng nhập vào web HOC247.Net.