Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 Phòng GD&ĐT Trực Ninh có đáp án

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MÔN TOÁN LỚP 9 Thi ngày 08 tháng 11 năm 2016  (Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề) -------------------------------

 

Bài 1 (4,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

2) Cho\(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 2 (4,0 điểm). Giải phương trình

1) Giải phương trình :\(\sqrt {x + 2\sqrt {x - 1} }  + \sqrt {x - 2\sqrt {x - 1} }  = \frac{{x + 3}}{2}\)

2) Giải phương trình: \(\sqrt {2{x^2} + 5x + 12}  + \sqrt {2{x^2} + 3x + 2}  = x + 5\).

Bài 3  (3,0 điểm).

1) Chứng minh rằng với k là số nguyên thì 2016k + 3 không phải là lập phương của một số nguyên.

     2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình\({x^2} - 25 = y(y + 6)\)

Bài 4 (7,0 điểm)

       Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH.

a) Chứng minh \(\widehat {CIJ} = \widehat {CBH}\)

b) Chứng minh \(\Delta \)CJH đồng dạng với \(\Delta \)HIB

c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC²

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

Bài 5 (2,0 điểm). Cho \(a,b,c > 0\). Chứng minh rằng \(\sqrt {\frac{a}{{b + c}}}  + \sqrt {\frac{b}{{c + a}}}  + \sqrt {\frac{c}{{a + b}}}  > 2\).

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 cấp huyện Trực Ninh:

Bài 1:

1.  Rút gọn biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\)

\(A = \frac{{\sqrt 5  + 3}}{{\sqrt 2  + \sqrt {3 + \sqrt 5 } }} + \frac{{3 - \sqrt 5 }}{{\sqrt 2  - \sqrt {3 - \sqrt 5 } }}\) \( = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{2 + \sqrt {6 + 2\sqrt 5 } }} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{2 - \sqrt {6 - 2\sqrt 5 } }}\)

\(A = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{2 + \sqrt {{{(\sqrt 5  + 1)}^2}} }} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{2 - \sqrt {{{(\sqrt 5  - 1)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 (\sqrt 5  + 3)}}{{\sqrt 5  + 3}} + \frac{{\sqrt 2 (3 - \sqrt 5 )}}{{3 - \sqrt 5 }}\)

\(A = 2\sqrt 2 \)

2. \(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) ĐKXĐ: \(x \ge 0\)

\(A = \frac{{{x^2} - \sqrt x }}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{{x^2} + \sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}} = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}}  - 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt {{x^3}}  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {x + \sqrt x  + 1} \right)}}{{x + \sqrt x  + 1}} - \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

\( = \sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right) - \sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right) = x - \sqrt x  - x - \sqrt x  =  - 2\sqrt x \)

. b)  \(B{\rm{ }} = {\rm{ }}A{\rm{ }} + {\rm{ }}x{\rm{ }}--{\rm{ }}1 =  - 2\sqrt x  + x - 1 = x - 2\sqrt x  - 1 = {\left( {\sqrt x  - 1} \right)^2} - 2 \ge  - 2\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\) ( TM ĐKXĐ)

Vậy GTNN của biểu thức B=-2 khi x=1
 

Trên đây là một phần trích đáp án chi tiết của Đề thi HSG Toán 9 cấp huyện năm 2016-2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Trực Ninh. Để xem tiếp nội dung các em vui lòng đăng nhập vào website Hoc247.Net bằng cách xem Online hoặc tải về máy tính.