Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm số lượng giác

Để tìm GTLN, GTNN của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên D ta tính y', tìm các điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc không tồn tại và lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên ta suy ra GTLN, GTNN.

Chú ý:

* Nếu hàm số \(y=f\left( x \right)\) luôn tăng hoặc luôn giảm trên \(\left[ a;b \right]\) thì \(\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\max \{f(a),f(b)\};\text{ }\underset{\text{ }\!\![\!\!\text{ a;b }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=\min \{f(a),f(b)\}\)

* Nếu hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ a;b \right]\) thì luôn có GTLN, GTNN trên đoạn đó và để tìm GTLN, GTNN ta làm như sau

B1: Tính y' và tìm các điểm \({{x}_{1}},\text{ }{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}\) mà tại đó y' triệt tiêu hoặc hàm số không có đạo hàm.

B2: Tính các giá trị \(f({{x}_{1}}),f({{x}_{2}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)\). Khi đó

\(\underset{x\in [a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\max }}\,f(x)=\max \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }f({{x}_{1}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\)

\(\underset{x\in [a;b\text{ }\!\!]\!\!\text{ }}{\mathop{\min }}\,f(x)=\min \text{ }\!\!\{\!\!\text{ }f({{x}_{1}}),...,f({{x}_{n}}),f(a),f(b)\text{ }\!\!\}\!\!\text{ }\)

* Nếu hàm số \(y=f\left( x \right)\)  là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN  trên một đoạn nằm trong D có độ dài bằng T.

* Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ t=u(x), ta tìm được \(t\in E\) với \(\text{ }\forall x\in D\), ta có \(y=g\left( t \right)\) thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E.

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.

Chú ý:

Nếu hàm số \(y=f\left( x \right)\) là hàm tuần hoàn chu kỳ T thì để tìm GTLN, GTNN của nó trên D ta chỉ cần tìm GTLN, GTNN  trên một đoạn thuộc D có độ dài bằng T.

* Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) xác định trên D. Khi đặt ẩn phụ \(t=u\left( x \right)\), ta tìm được \(t\in E\) với \(\text{ }\forall x\in D\), ta có \(y=g\left( t \right)\) thì Max, Min của hàm f trên D chính là Max, Min của hàm g trên E.

* Khi bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất mà không nói trên tập nào thì ta hiểu là tìm GTLN, GTNN trên tập xác định của hàm số.

* Ngoài phương pháp khảo sát để tìm Max, Min ta còn dùng phương pháp miền giá trị hay Bất đẳng thức để tìm Max, Min.

* Ta cần phân biệt hai khái niệm cơ bản :

+ Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên D với cực đại của hàm số .

+ Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên D với cực tiểu của hàm số .

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=f\left( x \right)\) trên D mang tính toàn cục , còn giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số chỉ mang tính địa phương.

Lưu ý:

\(t=\sin x,\left| t \right|\le 1\),\(t=\cos x,\left| t \right|\le 1\)

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số: \(y=\frac{\sin x+1}{{{\sin }^{2}}x+\sin x+1}\)

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định \(D=\mathbb{R}\)

Đặt \(t=\sin x,\left| t \right|\le 1\), ta có: \(y=\frac{t+1}{{{t}^{2}}+t+1}\) với \(t\in [-1;1]\)

Ta có: \(y'=\frac{-{{t}^{2}}-2t}{{{({{t}^{2}}+t+1)}^{2}}}\) và \(y'=0\Leftrightarrow -{{t}^{2}}-2t=0\Rightarrow t=0\) hoặc \(t=-2\notin [-1;1]\)

\(y(0)=1;\mathsf{ }y(-1)=0;\mathsf{ }y(1)=\frac{2}{3}.\)

Vậy, \(\underset{t\in [-1;1]}{\mathop{max}}\,y=1\) khi x=0 và \(\underset{x\in [-1;1]}{\mathop{min}}\,y=0\) khi x=-1

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC không tù. Tìm GTLN của biểu thức : \(P=\cos 2A+2\sqrt{2}\left( \cos B+\cos C \right)\)

Lời giải.

Ta có \(A\le {{90}^{0}}\Rightarrow \cos 2A=2{{\cos }^{2}}A-1\le 2\cos A-1=1-4{{\sin }^{2}}\frac{A}{2}\)

Đẳng thức có \(\Leftrightarrow {{\cos }^{2}}A=\cos A\).

\(\cos B+\cos C=2\sin \frac{C}{2}.\cos \frac{B-C}{2}\le 2\sin \frac{C}{2}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow \cos \frac{B-C}{2}=1\).

Đặt \(t = \sin \frac{A}{2} \Rightarrow 0 < t \le \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Ta có: \(P\le -4{{t}^{2}}+4\sqrt{2}t+1=f\left( t \right)\)

Xét hàm số \(f\left( t \right),\text{ }t\in \left( 0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right]\), có \(f'\left( t \right)=-8t+4\sqrt{2}\Rightarrow f'\left( t \right)=0\Leftrightarrow t=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Lập bảng biến thiên ta có: \(f\left( t \right)\le f\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)=3\Rightarrow P\le 3\)

Đẳng thức xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \cos A = {\cos ^2}A\\ \cos \frac{{B - C}}{2} = 1\\ \sin \frac{A}{2} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} A = {90^0}\\ B = C = {45^0} \end{array} \right.\)

Vậy \(\max P=3\)

Bài 1: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=x-\operatorname{s}\text{in2}x\) trên đoạn \(\left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\)

2. \(y=\text{ 2sin}x-\frac{4}{3}{{\sin }^{3}}x\) trên đoạn \(\left[ \text{0;}\pi  \right]\)

Bài 2: Tìm GTLN và GTNN của các hàm số sau

1. \(y=\frac{1+{{\sin }^{6}}x+{{\cos }^{6}}x}{1+{{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{4}}x}\)

2. \(y=\sin \frac{2x}{1+{{x}^{2}}}+\cos \frac{4x}{1+{{x}^{2}}}+1\)

Bài 3: Tìm GTLN và GTNN của  hàm số sau \(g(x)=f({{\sin }^{2}}x)f\left( {{\cos }^{2}}x \right)\) trong đó hàm f thỏa mãn: \(f(\cot x)=\sin 2x+\cos 2x\text{ } \forall x\in [0;\pi \text{ }\!\!]\!\!\text{ }\)

Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:      

1. \(y=2\cos \frac{x}{2}+\sqrt{6}\sin x\) trên đoạn \(\left[ 0;\,\pi  \right]\)

2. \(y={{\sin }^{4}}x+{{\cos }^{2}}x+2\)

3. \(y=x-\sin 2x\) trên đoạn \(\left[ -\frac{\pi }{2};\pi  \right]\)

4. \(y=\frac{\sin x+1}{{{\sin }^{2}}x+\sin x+1}\)

5. \(y=\frac{{{\sin }^{6}}x\left| \cos x \right|+{{\cos }^{6}}x\left| \sin x \right|}{\left| \sin x \right|+\left| \cos x \right|}\)

6. \(y=2{{\cos }^{6}}x-\frac{3}{4}\cos 2x\)

7. \(y={{\sin }^{3}}x-{{\cos }^{3}}x\)

8. \(y=\frac{1}{\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\)

9. \(y=\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{1+\cos x}\)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1:

1. Ta có: \({y}'=1-2\cos 2x\text{ }\) với mọi \(x\in \left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\). Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng \(\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right)\).

\(y' = 0,x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1 - 2\cos 2x = 0\\ x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{6}\\ x = \frac{\pi }{6} \end{array} \right.\)

\(y\left( { - \frac{\pi }{6}} \right) = - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2},{\rm{ }}y\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \frac{\pi }{6} - \frac{{\sqrt 3 }}{2},{\rm{ }}y\left( { - \frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2},{\rm{ }}y\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{\pi }{2}{\rm{ }}\)

2. Đặt \(\text{t=sin}x,x\in \left[ \text{0;}\pi  \right]\Rightarrow t\in \left[ 0;1 \right]\)

Hàm số đã cho viết lại: \(y\text{ = 2}t-\frac{4}{3}{{t}^{3}}\text{= }f\left( t \right)\)

Xét \(\text{ }f\left( t \right)=\text{2}t-\frac{4}{3}{{t}^{3}}\) liên tục trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\)

Ta có : \(\text{ }f'\left( t \right)=\text{2}-4{{t}^{2}}\), với mọi \(t\in \left( 0;1 \right)\). Ta tìm nghiệm của phương trình y' trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\)

\(\text{ }f'\left( t \right)=0,t\in \left( 0;1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & 2-4{{t}^{2}}=0 \\ & t\in \left( 0;1 \right) \\ \end{align} \right.\)

\(\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt{2}}, f\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\text{= }\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{ , }f\left( \text{0} \right)\text{ = 0 , }f\left( \text{1} \right)\text{ = }\frac{2}{3}\)

\(\underset{\text{x}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\pi ]}{\mathop{\max }}\,y=\underset{\text{t}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\max }}\,f\text{= }\left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)\text{= }\frac{2\sqrt{2}}{3}\text{ khi t =}\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Leftrightarrow x=\frac{\pi }{4}\)

\(\underset{\text{x}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;\pi ]}{\mathop{\min }}\,y=\underset{\text{t}\in \text{ }\!\![\!\!\text{ }0;1]}{\mathop{\min }}\,f\text{ =}f\left( 0 \right)\text{ = }0\text{ khi t = }0\Leftrightarrow \sin x=0\Leftrightarrow x=0\vee x=\pi \)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất liên quan đến hàm số lượng giác. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Chúc các em học tập tốt!