Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

1. Tìm tiệm cận ngang ,tiệm cận đứng của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau 

B1. Tìm tập xác định của hàm số  \(f\left( x \right)\)

B2. Tìm các giới hạn của \(f\left( x \right)\) khi x dần tới các biên của miền xác định và dựa vào định nghĩa của các đường tiệm cận để kết luận 

Chú ý.

Đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận ngang khi tập xác định của nó là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn (nghĩa là biến x có thể tiến đến \(+\infty \) hoặc  \(-\infty )\)

Đồ thị hàm số  f chỉ có thể có tiệm cận đứng khi tập xác định của nó có một trong các dạng sau:  (a;b) ,[a;b) , (a;b], (a ; \(+\infty \))  ; ( \(-\infty ;\)a) hoặc là hợp của các tập hợp này và tập xác định không có một trong các dạng sau: R , [c; \(+\infty \)), (\(-\infty ;\)c], [c;d]

2. Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm

Thực hiện theo các bước sau

B1. Tìm tập xác định của hàm số  (đồ thị hàm số f chỉ có thể có tiệm cận xiên nếu tập xác định của nó là là một khoảng vô hạn hay một nửa khoảng vô hạn)

B2. Sử dụng định nghĩa

Hoặc sử dụng định lí  :

Nếu \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=a\ne 0\,\,\,\) và \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]=b\) hoặc \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=a\ne 0\) và \(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]=b\) thì đường thẳng \(\text{y}=\text{ax}+\text{b}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số  f

CHÚ Ý : Đối với hàm phân thức : \(f\left( x \right)=\frac{P(x)}{Q(x)}\) trong đó P(x), Q(x) là hai đa thức của x ta thường dùng phương pháp sau để tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số 

 i) Tiệm cận đứng .

Nếu \(\left\{ \begin{align} & P({{x}_{0}})=0 \\ & Q({{x}_{0}})\ne 0 \\ \end{align} \right.\) thì đường thẳng : \(x={{x}_{0}}\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

ii) Tiệm cận ngang

Nếu bậc của P(x) bé hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số có tiệm cận ngang là trục hoành độ

Nếu bậc của P(x) bằng bậc của Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận ngang là đường thẳng : \(y=\frac{A}{B}\) trong đó A, B lần lượt là  hệ số  của số hạng có số mũ lớn nhất của P(x) và Q(x)

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) thì đồ thị của hàm số  không có tiệm cận ngang

iii) Tiệm cận xiên

Nếu bậc của P(x) bé hơn hay bằng bậc của Q(x) hoặc lớn hơn bậc của Q(x) từ hai bậc trở lên thì đồ thị hàm số  không có tiệm cận xiên

Nếu bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một bậc và P(x) không chia hết cho Q(x) thì đồ thị hàm có tiệm cận xiên và ta tìm tiệm cận xiên bằng cách chia P(x) cho Q(x) và viết \(\text{f}\left( \text{x} \right)=\text{ax}+\text{b}+\frac{R(x)}{Q(x)}\), trong đó \(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{R(x)}{Q(x)}=0\,\,,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{R(x)}{Q(x)}=0\).

Suy ra  đường thẳng : \(\text{y}=\text{ax}+\text{b}\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Chú ý:

1. Xét hàm số \(y=\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}\text{    }\left( a\ne 0 \right)\).

* Nếu \(a<0\Rightarrow \) đồ thị hàm số không có tiệm cận.

* Nếu a>0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên \(y=\sqrt{a}\left( x+\frac{b}{2a} \right)\) khi \(x\to +\infty \) và \(y=-\sqrt{a}\left( x+\frac{b}{2a} \right)\) khi \(x\to -\infty \).

2. Đồ thị hàm số \(y=mx+n+p\sqrt{a{{x}^{2}}+bx+c}\mathsf{ }\left( a>0 \right)\) có tiệm cận là đường thẳng : \(y=mx+n+p\sqrt{a}\left| x+\frac{b}{2a} \right|\)

Ví dụ 1: Tìm tiệm cận của hàm số: 1. \(y=\frac{2x+1}{x+1}\) 2. \(y=\frac{2-4x}{1-x}\) 3. \(y=2x+1-\frac{1}{x+2}\) 4. \(y=-x-1+\frac{1}{1-x}\)

Lời giải.

1. \(y=\frac{2x+1}{x+1}\)

Giới hạn , tiệm cận .

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=2\) , suy ra đường thẳng y = 2 là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C).

\(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \), suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C).

2. \(y=\frac{2-4x}{1-x}\)

Giới hạn , tiệm cận .

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=4\,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=4\), suy ra đường thẳng y = 4 là đường tiệm cận ngang của đồ thị (C).

\(\underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -{{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \), suy ra đường thẳng x = 1 là đường tiệm cận đứng của đồ thị (C).

3. \(y=2x+1-\frac{1}{x+2}\)

Giới hạn , tiệm cận .

\(\underset{x\to -{{2}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to -{{2}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \) Đường thẳng : x = -2 là tiệm cận đứng của (C).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty .\)

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[y-(2x+1)]=\,0\,\,\,,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[y-(2x+1)]=0\Rightarrow \) Đường thẳng y = 2x+1 là tiệm cận xiên của (C).

4. \(y=-x-1+\frac{1}{1-x}\)

Giới hạn , tiệm cận .

\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,,\,\,\,\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=-\infty \Rightarrow \) Đường thẳng : x = 1 là tiệm cận đứng của (C).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=+\infty \,\,\,\,,\,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=-\infty .\)

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,[y-(-x-1)]=\,0\,\,\,,\,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,[y-(-x-1)]=0\Rightarrow \) Đường thẳng y =-x-1 là tiệm cận xiên của (C).

Ví dụ 2 Tìm tiệm cận của hàm số: 1. \(y=\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}\) 2. \(y=\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}\) 3. \(y=x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}\)

Lời giải.

1. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(D=\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{x}=-\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=-1\Rightarrow y=-1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x\to -\infty \)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}=1\Rightarrow y=1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x\to +\infty \)

\(\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=-\infty ,\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{x}=+\infty \Rightarrow x=0\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi \(x\to {{0}^{-}}\) và \(x\to {{0}^{+}}\).

\(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow \) hàm số y không có tiệm cận xiên khi \(x\to -\infty \)

\(\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+1}}{{{x}^{2}}}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x\sqrt{1+\frac{1}{{{x}^{2}}}}}{{{x}^{2}}}=0\Rightarrow \) hàm số y không có tiệm cận xiên khi \(x\to +\infty \)

2. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(a=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}=1\)

\(b=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-ax \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+x}\)

\(=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{2}{x}}{\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}+1}=-1 \Rightarrow y=x-1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x\to +\infty \).

\(a=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}}{x}=-\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}=-1\)

\(b=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-ax \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}+x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2x+2}{\sqrt{{{x}^{2}}-2x+2}-x}\)

\(=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-2+\frac{2}{x}}{-\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{2}{{{x}^{2}}}}-1}=1 \Rightarrow y=-x+1\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x\to -\infty \).

3. Hàm số đã cho xác định và liên tục trên \(D=\left( -\infty ;-1 \right]\cup \left[ 1;+\infty  \right)\).

\(a=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1+\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=2\)

\(b=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( y-ax \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}-x \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}+x}=0 \Rightarrow y=2x\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi \(x\to +\infty \).

\(a=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{y}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x+\sqrt{{{x}^{2}}-1}}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( 1-\sqrt{1-\frac{1}{{{x}^{2}}}} \right)=0\)

\(b=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,y=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \sqrt{{{x}^{2}}-1}+x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{-1}{\sqrt{{{x}^{2}}-1}-x}=0 \Rightarrow y=0\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi \(x\to -\infty \).

Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=\frac{3x+2}{x-2}\)

2. \(y=\frac{-2x-5}{3x+1}\)

Bài 2: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=x+1-\frac{1}{x-5}\)

2. \(y=\frac{2{{x}^{2}}-6x+1}{3x+1}\)

Bài 3: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=\frac{2x+3}{{{x}^{2}}-4}\)

2. \(y=\frac{4x}{{{x}^{2}}+8}\)

Bài 4: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=\frac{2x-4}{{{x}^{3}}+1}+2x-3\)

2. \(y=\frac{{{x}^{3}}+2}{{{x}^{2}}-2x}\)

Bài 5: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=\frac{2{{x}^{3}}-x+4}{{{x}^{2}}-4}\)

2. \(y=\frac{{{x}^{2}}+x+2}{{{x}^{2}}-2x+3}\)

Bài 6: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :

1. \(y=x+4+\sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}\)

2. \(y=3x+\sqrt{{{x}^{2}}+4}\)

3. \(y=\frac{2x}{\sqrt{{{x}^{2}}+3}}\)

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết của phần đáp án vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

Lý thuyết và bài tập về đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chúc các em học tập tốt!