Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 190-191

Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = 1 + z + {z^2} + ... + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} - 1\)

Vì z ≠ 1 nên chia hai vế cho z − 1 ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)

Hướng dẫn giải:

* Ta có: \(\overline {{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2}\) là số thực 

* \(\overline {\left( {\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}} \right)}  = \frac{{\bar z - {z^2}}}{{1 + \bar zz}} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + \bar zz}} \Rightarrow \frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}\) là số ảo

* \(\overline {\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}}  = \frac{{{{\left( {\overline z } \right)}^2} - {z^2}}}{{1 + z.\overline z }} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }} \Rightarrow \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\) là số ảo

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức zz thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z2 là số thực âm;

b) z2 là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)

d) \(\frac{)}{{z - i}}\) là số ảo

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = x + yi

Câu a:

z2 là số thực âm \(\left\{ \begin{array}{l}
xy = 0\\
{x^2} - {y^2} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục Oy trừ điểm O

Câu b:

\({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

z2 là là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc y = x

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

Câu c:

Ta có: \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = {x^2} - {y^2} - 2xyi \Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

Câu d:

 \(\frac{)}{{z - i}}\) là số ảo <=> z - i là số ảo và z ≠ i <=> z là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm I(0; 1) biểu diễn số i

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) iz + 2 − i = 0                               

b) (2 + 3i)z = z − 1

c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)                 

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)

e) z2 + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \Leftrightarrow z =  - 2 + ii = \frac{{( - 2 + i)i}}{{ - 1}} \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
(2 + 3i)z = z - 1 \Leftrightarrow (1 + 3i)z =  - 1\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 1}}{{1 + 3i}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{(1 + 3i)(1 - 3i)}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{10}} =  - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0 \Leftrightarrow (2 + i)z = 4\\
 \Leftrightarrow z = \frac{4}{{2 + i}} = \frac{{4\left( {2 - i} \right)}}{5}\\
 \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i
\end{array}\)

Câu d:

\(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
iz - 1 = 0\\
z + 3i = 0\\
\bar z - 2 + 3i = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{i} =  - i\\
z =  - 3i\\
z = 2 + 3i
\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = {−i, −3i, 2+3i}

Câu e: 

\({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2} = 0 \Leftrightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0 \Leftrightarrow z = 2i\) hoặc z = -2i

Vậy S = {2i; -2i}

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{z + i}}{{z - i}} = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{[x + (y + 1)i][x - (y - 1)i]}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\\
 = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}i
\end{array}\)

Vậy phần thực là \(\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\), phần ảo là \(\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\)

Câu b:

Với z khác i, \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + {y^2} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{y^2} > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
y > 1\\
y <  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối I,J (I biểu diễn i và J biểu diễn −i).

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1, z2, z3  thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3|

Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Trong mặt phẳng phức gốc O,G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) 

Vậy G biểu diễn số phức \(\frac{1}{3}({z_1} + {z_2} + {z_3})\) vì \({\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} }\) theo thứ tự biểu diễn  z1, z2, z3

Câu b:

Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm tại gốc tọa độ O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là G ≡ O hay z1 + z2 + z3 = 0

Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?

Hướng dẫn giải: