YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 190-191

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Chương 4 Luyện tập trang 190-191 được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Giải tích 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 10 trang 190 SGK Toán nâng cao 12

Chứng minh rằng với mọi số phức z ≠ 1, ta có: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(\left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right)\left( {z - 1} \right) = 1 + z + {z^2} + ... + {z^{10}} - \left( {1 + z + {z^2} + ... + {z^9}} \right) = {z^{10}} - 1\)

Vì z ≠ 1 nên chia hai vế cho z − 1 ta được: \(1 + z + {z^2} + ... + {z^9} = \frac{{{z^{10}} - 1}}{{z - 1}}\)


Bài 11 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

Hỏi mỗi số sau đây là số thực hay số ảo (z là số phức tùy ý cho trước sao cho biểu thức xác định)?

\({z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2};\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}};\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\)

Hướng dẫn giải:

* Ta có: \(\overline {{z^2} + {{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = \overline {{z^2}}  + \overline {{{\left( {\bar z} \right)}^2}}  = {\left( {\overline z } \right)^2} + {\left( {\overline {\overline z } } \right)^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} + {z^2}\)

\( \Rightarrow {z^2} + {\left( {\bar z} \right)^2}\) là số thực 

* \(\overline {\left( {\frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}} \right)}  = \frac{{\bar z - {z^2}}}{{1 + \bar zz}} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\bar z} \right)}^2}}}{{1 + \bar zz}} \Rightarrow \frac{{z - \bar z}}{{{z^3} + {{\left( {\bar z} \right)}^3}}}\) là số ảo

* \(\overline {\frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}}  = \frac{{{{\left( {\overline z } \right)}^2} - {z^2}}}{{1 + z.\overline z }} =  - \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }} \Rightarrow \frac{{{z^2} - {{\left( {\overline z } \right)}^2}}}{{1 + z.\overline z }}\) là số ảo


Bài 12 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức zz thỏa mãn từng điều kiện sau:

a) z2 là số thực âm;

b) z2 là là số ảo;

c) \({z^2} = {\left( {\bar z} \right)^2}\)

d) \(\frac{)}{{z - i}}\) là số ảo

Hướng dẫn giải:

Giả sử z = x + yi

Câu a:

z2 là số thực âm \(\left\{ \begin{array}{l}
xy = 0\\
{x^2} - {y^2} < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
y \ne 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là trục Oy trừ điểm O

Câu b:

\({z^2} = {x^2} - {y^2} + 2xyi\)

z2 là là số ảo \( \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} = 0 \Leftrightarrow x = y\) hoặc y = x

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hai đường phân giác của các gốc tọa độ.

Câu c:

Ta có: \({z^2} = {\left( {\overline z } \right)^2} \Leftrightarrow {x^2} - {y^2} + 2xyi = {x^2} - {y^2} - 2xyi \Leftrightarrow xy = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
y = 0
\end{array} \right.\)

Vậy tập hợp các điểm cần tìm là các trục tọa độ.

Câu d:

 \(\frac{)}{{z - i}}\) là số ảo <=> z - i là số ảo và i <=> z là số ảo khác i.

Vậy tập hợp các điểm cầm tìm là trục ảo trừ điểm I(0; 1) biểu diễn số i


Bài 13 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

Giải các phương trình sau (với ẩn z)

a) iz + 2 − i = 0                               

b) (2 + 3i)z = z − 1

c) \(\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0\)                 

d) \(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0\)

e) z2 + 4 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

\(iz + 2 - i = 0 \Leftrightarrow iz = i - 2 \Leftrightarrow z =  - 2 + ii = \frac{{( - 2 + i)i}}{{ - 1}} \Leftrightarrow z = 1 + 2i\)

Câu b:

\(\begin{array}{l}
(2 + 3i)z = z - 1 \Leftrightarrow (1 + 3i)z =  - 1\\
 \Leftrightarrow z = \frac{{ - 1}}{{1 + 3i}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{(1 + 3i)(1 - 3i)}} = \frac{{ - 1 + 3i}}{{10}} =  - \frac{1}{{10}} + \frac{3}{{10}}i
\end{array}\)

Câu c:

\(\begin{array}{l}
\left( {2 - i} \right)\bar z - 4 = 0 \Leftrightarrow (2 + i)z = 4\\
 \Leftrightarrow z = \frac{4}{{2 + i}} = \frac{{4\left( {2 - i} \right)}}{5}\\
 \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} - \frac{4}{5}i
\end{array}\)

Câu d:

\(\left( {iz - 1} \right)\left( {z + 3i} \right)\left( {\bar z - 2 + 3i} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
iz - 1 = 0\\
z + 3i = 0\\
\bar z - 2 + 3i = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
z = \frac{1}{i} =  - i\\
z =  - 3i\\
z = 2 + 3i
\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm phương trình là S = {−i, −3i, 2+3i}

Câu e: 

\({z^2} + 4 = 0 \Leftrightarrow {z^2} - 4{i^2} = 0 \Leftrightarrow (z - 2i)(z + 2i) = 0 \Leftrightarrow z = 2i\) hoặc z = -2i

Vậy S = {2i; -2i}


Bài 14 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

a) Cho số phức z = x + yi. Khi z ≠ i, hãy tìm phần thực và phần ảo của số phức \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\)

b) Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\frac{{z + i}}{{z - i}} = \frac{{x + (y + 1)i}}{{x + (y - 1)i}} = \frac{{[x + (y + 1)i][x - (y - 1)i]}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\\
 = \frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}} + \frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}i
\end{array}\)

Vậy phần thực là \(\frac{{{x^2} + {y^2} - 1}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\), phần ảo là \(\frac{{2x}}{{{x^2} + {{(y - 1)}^2}}}\)

Câu b:

Với z khác i, \(\frac{{z + i}}{{z - i}}\) là số thực dương khi và chỉ khi

\(\left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} + {y^2} - 1 > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
{y^2} > 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
y > 1\\
y <  - 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)

Vậy quỹ tích là trục ảo bỏ đoạn thẳng nối I,J (I biểu diễn i và J biểu diễn −i).


Bài 15 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

a) Trong mặt phẳng phức, cho ba điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn các số phức z1, z2, z3. Hỏi trọng tâm của tam giác ABC biểu diễn số phức nào?

b) Xét ba điểm A,B,C của mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z1, z2, z3  thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3|

Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi z1 + z2 + z3 = 0

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Trong mặt phẳng phức gốc O,G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {OG}  = \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} } \right)\) 

Vậy G biểu diễn số phức \(\frac{1}{3}({z_1} + {z_2} + {z_3})\) vì \({\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC} }\) theo thứ tự biểu diễn  z1, z2, z3

Câu b:

Ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm tại gốc tọa độ O nên tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi trọng tâm G của nó trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp, tức là G ≡ O hay z1 + z2 + z3 = 0


Bài 16 trang 191 SGK Toán nâng cao 12

Đố vui. Trong mặt phẳng phức cho các điểm: O (gốc tọa độ), A biểu diễn  số 1, B biểu diễn số phức z không thực, A' biểu diễn số phức z′ ≠ 0 và B' biểu diễn số phức zz'.

Hai tam giác OAB, OA'B' có phải là hai tam giác dồng dạng không?

Hướng dẫn giải:

Do z không phải là số thực nên các điểm O, A, B theo thứ tự biểu diễn các số 0, 1, z là các đỉnh của một tam giác. Với z′ ≠ 0, xét các điểm A', B' theo thứ tự biểu diễn các số z', zz' thì ta có: 
\(\frac{{OA\prime }}{{OA}} = \frac{{|z\prime |}}{1} = |z\prime |;\frac{{OB\prime }}{{OB}} = \frac{{|zz\prime |}}{{|z|}} = |z\prime |;\frac{{OC\prime }}{{OC}} = \frac{{|zz\prime  - z'|}}{{|z - 1|}} = |z\prime |\)
Vậy tam giác OA'B' đồng dạng với tam giác OAB (tỉ số đồng dạng bằng |z'|)
 
 
Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 4 Luyện tập trang 190-191 được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

YOMEDIA