Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là $2\sqrt {1 - {x^2}}$ 

Hướng dẫn giải:

$S(x) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 4(1 - {x^2})$

Ta có: $V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {4x - \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{16}}{3}$

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh $2\sqrt {{\rm{sinx}}}$

Hướng dẫn giải:

Ta có: $S(x) = {\left( {\sqrt {{\rm{2sinx}}} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 sinx$

Do đó:

 $V = \int\limits_0^\pi  {S (x)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits} dx}  = \left. { - \sqrt 3 cosx} \right|_0^\pi  = 2$

---

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = 0$, \mathrm{x }= 4$, và $y = \sqrt x  - 1$. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình $A$ quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành

$\sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$

$V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}^2}dx}  = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{4}{3}x\sqrt x  + x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{7\pi }}{6}$

---

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường x = 2/y, y = 1 và y = 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung

Hướng dẫn giải:

Ta có: $V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\frac{2}{y}} \right)}^2}dy}  = 4\pi \int\limits_1^4 {\frac{{dy}}{{{y^2}}}}  = \left. {4\pi \left( { - \frac{1}{y}} \right)} \right|_1^4 = 3\pi$

---

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường $x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y =  - 1$ và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải:

$V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {\sqrt 5 {y^2}} \right)}^2}dy}  = 5\pi \int\limits_{ - 1}^1 {{y^4}dy}  = \left. {\pi {y^5}} \right|_{ - 1}^1 = 2\pi$

---

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và $y = \frac{{{x^2}}}{4}$ trong miền x ≥ 0, y ≤ 1.

b) Đồ thị hai hàm số y = x⁴ − 4x² + 4, y = x², trục tung và đường thẳng x = 1

c) Đồ thị các hàm số y = x²,y = 4x − 4 và y = −4x – 4

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Diện tích hình thang OABC là:

${S_1} = (2 + 1)\frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

Diện tích tam giác cong OBCOBC là hình phẳng giới hạn bởi: y = 0,x = 2, $y = \frac{{{x^2}}}{4}$ là:

${S_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{4}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^2 = \frac{2}{3}$

Diện tích cần tìm là $S = {S_1} - {S_2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}$

Câu b:

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

${x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {x^2} = 1\\ {x^2} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x =  \pm 1\\ x =  \pm 2 \end{array} \right.$

Ta có: 

$\begin{array}{l} {S_1} = \int\limits_0^1 {|{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}|dx}  = \int\limits_0^1 {|{x^4} - 5{x^2} + 4|dx} \\  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{5{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{38}}{{15}} \end{array}$

Câu c:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x² và đường thẳng y = 4x – 4 là:

$\begin{array}{l} {x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\\  \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2. \end{array}$

---

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x² + 1 và y = 3 – x

b) Các đường có phương trình x = y³, y = 1, và x = 8

c) Đồ thị của hàm số $y = \sqrt x$,y = 6 − x và trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

${x^2} + 1 = 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x =  - 2 \end{array} \right.$

Diện tích cần tìm là:

$\begin{array}{l} S = \int\limits_{ - 2}^1 {|{x^2} + 1 - \left( {3 - x} \right)|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {|{x^2} + x - 2|dx} \\  = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = \frac{9}{2} \end{array}$

Câu b:

Diện tích cần tìm là:

$S = \int\limits_1^8 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} - x} \right)} \right|_1^8 = \frac{{17}}{4}$

Câu c:

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

$\sqrt x  = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x  - 6 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4$

$S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx}  + \frac{1}{2}.2.2 = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^4 + 2 = \frac{{22}}{3}$

---

Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là $2\sqrt {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} }$

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}

S(x) = {\left( {2\sqrt {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } } \right)^2} = 4\sin x\\
V = \int\limits_0^\pi  {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {4\sin xdx}  = \left. { - 4{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right|_0^\pi  = 8
\end{array}\)

---

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x², x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

$V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx}  = \pi \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_0^2 = \frac{{32\pi }}{5}$

---

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx,y = 0, x = 0 và x = π/4
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

$\begin{array}{l} V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}  = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\cos }^2}} \right)xdx} \\  = \left. {\frac{\pi }{2}.\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\pi \left( {\pi  + 2} \right)}}{8} \end{array}$

---

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường $y = x{e^{\frac{x}{2}}}$ y = 0, x = 0 và x = 1.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: $V = \pi \int \limits_0^1 {x^2}{e^x}dx$

$\left\{ \begin{array}{l} u = {x^2}\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} du = 2xdx\\ v = {e^x} \end{array} \right.$

$V = \pi (\left. {{x^2}{e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} ) = \pi (e - 2{I_1})$

Với ${I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx}$

Đặt $\left\{ \begin{array}{l} u = x\\ dv = {e^x}dx \end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} du = dx\\ v = {e^x} \end{array} \right.$

Do đó: ${I_1} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = 1$

Vậy $V = \pi \left( {e - 2} \right)$

---

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường $x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0$, x = 0,y = 0, $y = \frac{\pi }{2}$.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải:

$V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2sin2ydy}  = \left. { - \pi \cos 2y} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi$

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!