YOMEDIA

Giải Toán 12 SGK nâng cao Chương 3 Bài 6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể

Dưới đây là Hướng dẫn giải bài tập Toán 12 nâng cao Chương 3 Bài 6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể được hoc247 biên soạn và tổng hợp, nội dung bám sát theo chương trình SGK Giải tích 12 nâng cao giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải bài tập và ôn tập kiến thức hiệu quả hơn. 

Bài 29 trang 172 SGK Toán 12 nâng cao

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = −1 và x = 1, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (−1 ≤ x ≤ 1) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {1 - {x^2}} \) 

Hướng dẫn giải:

\(S(x) = {\left( {2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)^2} = 4(1 - {x^2})\)

Ta có: \(V = \int\limits_{ - 1}^1 {4\left( {1 - {x^2}} \right)dx}  = \left. {\left( {4x - \frac{{4{x^3}}}{3}} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \frac{{16}}{3}\)


Bài 30 trang 172 SGK Toán 12 nâng cao

Tính thể tích của vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x(0 ≤ x ≤ π) là một tam giác đều cạnh \(2\sqrt {{\rm{sinx}}} \)

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(S(x) = {\left( {\sqrt {{\rm{2sinx}}} } \right)^2}.\frac{{\sqrt 3 }}{4} = \sqrt 3 sinx\)

Do đó:

 \(V = \int\limits_0^\pi  {S (x)dx}  = \int\limits_0^\pi  {\sqrt 3 {\mathop{\rm sinx}\nolimits} dx}  = \left. { - \sqrt 3 cosx} \right|_0^\pi  = 2\)


Bài 31 trang 172 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng  giới hạn bởi các đường 04, và \(y = \sqrt x  - 1\). Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Hoành độ giao điểm của đường thẳng với trục hoành

\(\sqrt x  - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\)

\(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}dx}  = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {x - 2\sqrt x  + 1} \right)}^2}dx}  = \left. {\pi \left( {\frac{{{x^2}}}{2} - \frac{4}{3}x\sqrt x  + x} \right)} \right|_1^4 = \frac{{7\pi }}{6}\)


Bài 32 trang 173 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường 2/yvà 4. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {\frac{2}{y}} \right)}^2}dy}  = 4\pi \int\limits_1^4 {\frac{{dy}}{{{y^2}}}}  = \left. {4\pi \left( { - \frac{1}{y}} \right)} \right|_1^4 = 3\pi \)


Bài 33 trang 173 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt 5 {y^2},x = 0,y =  - 1\) và y = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải:

\(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left( {\sqrt 5 {y^2}} \right)}^2}dy}  = 5\pi \int\limits_{ - 1}^1 {{y^4}dy}  = \left. {\pi {y^5}} \right|_{ - 1}^1 = 2\pi \)


Bài 34 trang 173 SGK Toán 12 nâng cao

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị các hàm số y = x, y = 1 và \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) trong miền x ≥ 0, y ≤ 1.

b) Đồ thị hai hàm số y = x4 − 4x2 + 4, y = x2, trục tung và đường thẳng x = 1

c) Đồ thị các hàm số y = x2,y = 4x − 4 và y = −4x – 4

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Diện tích hình thang OABC là:

\({S_1} = (2 + 1)\frac{1}{2} = \frac{3}{2}\)

Diện tích tam giác cong OBCOBC là hình phẳng giới hạn bởi: y = 0,x = 2, \(y = \frac{{{x^2}}}{4}\) là:

\({S_2} = \int\limits_0^2 {\frac{{{x^2}}}{4}dx}  = \left. {\frac{{{x^3}}}{{12}}} \right|_0^2 = \frac{2}{3}\)

Diện tích cần tìm là \(S = {S_1} - {S_2} = \frac{3}{2} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6}\)

Câu b:

 Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^4} - 4{x^2} + 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} = 1\\
{x^2} = 4
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x =  \pm 1\\
x =  \pm 2
\end{array} \right.\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
{S_1} = \int\limits_0^1 {|{x^4} - 4{x^2} + 4 - {x^2}|dx}  = \int\limits_0^1 {|{x^4} - 5{x^2} + 4|dx} \\
 = \int\limits_0^1 {\left( {{x^4} - 5{x^2} + 4} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{{{x^5}}}{5} - \frac{{5{x^3}}}{3} + 4x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{38}}{{15}}
\end{array}\)

Câu c:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 và đường thẳng y = 4x – 4 là:

\(\begin{array}{l}
{x^2} = 4x - 4 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 = 0\\
 \Leftrightarrow {(x - 2)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 2.
\end{array}\)


Bài 35 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:

a) Đồ thị hai hàm số y = x2 + 1 và y = 3 – x

b) Các đường có phương trình x = y3, y = 1, và x = 8

c) Đồ thị của hàm số \(y = \sqrt x \),y = 6 − x và trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Câu a:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

\({x^2} + 1 = 3 - x \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x =  - 2
\end{array} \right.\)

Diện tích cần tìm là:

\(\begin{array}{l}
S = \int\limits_{ - 2}^1 {|{x^2} + 1 - \left( {3 - x} \right)|dx}  = \int\limits_{ - 2}^1 {|{x^2} + x - 2|dx} \\
 = \int\limits_{ - 2}^1 {\left( { - {x^2} - x + 2} \right)dx}  = \left. {\left( { - \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^1 = \frac{9}{2}
\end{array}\)

Câu b:

Diện tích cần tìm là:

\(S = \int\limits_1^8 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} - 1} \right)dx}  = \left. {\left( {\frac{3}{4}{x^{\frac{4}{3}}} - x} \right)} \right|_1^8 = \frac{{17}}{4}\)

Câu c:

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đồ thị là:

\(\sqrt x  = 6 - x \Leftrightarrow x + \sqrt x  - 6 = 0 \Leftrightarrow \sqrt x  = 2 \Leftrightarrow x = 4\)

\(S = \int\limits_0^4 {\sqrt x dx}  + \frac{1}{2}.2.2 = \left. {\frac{2}{3}{x^{\frac{3}{2}}}} \right|_0^4 + 2 = \frac{{22}}{3}\)


Bài 36 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Tính thể tích của vật thể T nằm giữa hai mặt phẳng x = 0 và x = π, biết rằng thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 ≤ x ≤ π) là một hình vuông cạnh là \(2\sqrt {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \)

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}

S(x) = {\left( {2\sqrt {{\mathop{\rm sinx}\nolimits} } } \right)^2} = 4\sin x\\
V = \int\limits_0^\pi  {S\left( x \right)dx}  = \int\limits_0^\pi  {4\sin xdx}  = \left. { - 4{\mathop{\rm cosx}\nolimits} } \right|_0^\pi  = 8
\end{array}\)


Bài 37 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = x2, x = 0 và x = 2. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

\(V = \pi \int\limits_0^2 {{x^4}dx}  = \pi \left. {\frac{{{x^5}}}{5}} \right|_0^2 = \frac{{32\pi }}{5}\)


Bài 38 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường y = cosx,y = 0, x = 0 và x = π/4
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

\(\begin{array}{l}
V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\cos }^2}xdx}  = \frac{\pi }{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\left( {1 + {{\cos }^2}} \right)xdx} \\
 = \left. {\frac{\pi }{2}.\left( {x + \frac{1}{2}\sin 2x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}} = \frac{\pi }{2}\left( {\frac{\pi }{4} + \frac{1}{2}} \right) = \frac{{\pi \left( {\pi  + 2} \right)}}{8}
\end{array}\)


Bài 39 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng A giới hạn bởi các đường \(y = x{e^{\frac{x}{2}}}\) y = 0, x = 0 và x = 1.
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình A quanh trục hoành.

Hướng dẫn giải:

Ta có: \(V = \pi \int \limits_0^1 {x^2}{e^x}dx\)

\(\left\{ \begin{array}{l}
u = {x^2}\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
du = 2xdx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

\(V = \pi (\left. {{x^2}{e^x}} \right|_0^1 - 2\int\limits_0^1 {x{e^x}dx} ) = \pi (e - 2{I_1})\)

Với \({I_1} = \int\limits_0^1 {x{e^x}dx} \)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = x\\
dv = {e^x}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
du = dx\\
v = {e^x}
\end{array} \right.\)

Do đó: \({I_1} = \left. {x{e^x}} \right|_0^1 - \int\limits_0^1 {{e^x}dx}  = e - \left. {{e^x}} \right|_0^1 = 1\)

Vậy \(V = \pi \left( {e - 2} \right)\)


Bài 40 trang 175 SGK Toán 12 nâng cao

Cho hình phẳng B giới hạn bởi các đường \(x = \sqrt {2\sin 2y} ,x = 0,y = 0\), x = 0,y = 0, \(y = \frac{\pi }{2}\).
Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình B quanh trục tung.

Hướng dẫn giải:

\(V = \pi \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {2sin2ydy}  = \left. { - \pi \cos 2y} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = 2\pi \)

 

Trên đây là nội dung hướng dẫn giải chi tiết bài tập SGK nâng cao môn Toán 12 Chương 3 Bài 6 Ứng dụng tích phân để tính thể tích vật thể được trình bày rõ ràng, cụ thể với phương pháp ngắn gọn và khoa học. Hy vọng rằng đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em học sinh lớp 12 học tập thật tốt!

 

YOMEDIA