Chuyên đề tính tích phân dựa vào tính chất tích phân

1. Định nghĩa tích phân:

Định nghĩa:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Giả sử \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\), hiệu số \(f\left( b \right) – F\left( a \right)\) được gọi là tích phân từ a đến b ( hay còn gọi là tích phân xác định trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) của hàm số \(f\left( x \right)\)).

Kí hiệu: \(\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {F\left( x \right)} \right|_a^b = F\left( b \right) – F\left( a \right)\).

Nhận xét: tích phân chỉ phụ thuộc vào hàm \(f\) , vào cận \(a,b\) mà không phụ thuộc vào biến số.

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu \(f\left( x \right)\) liên tục và không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\) thì tích phân\(\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục Ox và hai đường thẳng \(x = a,\,\,x = b\).

\(S = \int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

2. Tính chất tích phân

• \(\int_a^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\).

• \(\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = – \int_b^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

• \(\int_a^b {kf\left( x \right){\rm{d}}x} = k\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\).

• \(\int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int_a^c {f\left( x \right){\rm{d}}x + } \int_c^b {f\left( x \right){\rm{d}}x} \,\,\left( {a < c < b} \right)\).

• \(\int_a^b {\left[ {f\left( x \right) \pm g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int_a^b {f\left( x \right){\rm{d}}x \pm } \int_a^b {g\left( x \right){\rm{d}}x} \).

• Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm lẻ, liên tục trên đoạn \(\left[ { – a;a} \right]\) thì: \(\int_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 0\).

• Nếu \(y = f\left( x \right)\) là hàm chẵn, liên tục trên đoạn \(\left[ { – a;a} \right]\) thì: \(\int_{ – a}^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int_0^a {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Ví dụ: Nếu \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 5\) thì \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx\)

A. \(3\). 

B. \(2\). 

C. \(\frac{3}{4}\). 

D. \(\frac{3}{2}\).

Lời giải

Chọn D

Ta có \(\int\limits_1^3 {\left[ {2f\left( x \right) + 1} \right]} dx = 5 \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + \int\limits_1^3 {dx} = 5 \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx + 2 = 5 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)} dx = \frac{3}{2}\)

Câu 1. Cho \(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 12\) và \(\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\), khi đó \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng

A. \( – 2\). 

B. \(12\). 

C. \(22\). 

D. \(2\).

Lời giải

Chọn C

Ta có:

\(\int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} \)

\( \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {\left[ {f\left( x \right) – 2g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} + 2\int\limits_0^1 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 12 + 2.5 = 22\).

Câu 2. Nếu \(\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2;\,\int_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 1\) thì \(\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} \) bằng

A. 5. 

B. 1. 

C. 7. 

D. 3.

Lời giải

Chọn A

Ta có : \(\int_0^2 {\left[ {3f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\rm{d}}x} = 3\int_0^2 {f\left( x \right){\rm{d}}x} – \int_0^2 {g\left( x \right){\rm{d}}x} = 5\).

Câu 3. Nếu \(\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\) thì \(\int_{ – 1}^0 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} \) bằng

A.\( – 4\). 

B.4. 

C.\(1\). 

D.\( – 1\).

Lời giải

Chọn C

Đặt \(t = 2x + 1 \Rightarrow {\rm{d}}t = 2{\rm{d}}x\).

Đổi cận : \(\left\{ \begin{array}{l}x = – 1 \Rightarrow t = – 1\\x = 0 \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\) .

\(\int_{ – 1}^0 {f\left( {2x + 1} \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2}\int_{ – 1}^1 {f\left( t \right){\rm{d}}t} = 1\).

Câu 4. Biết \(y = f\left( x \right)\) là hàm số chẵn, xác định, liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\)và \(\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\).Tính\(\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \)

A.0. 

B.4. 

C.1. 

D.2.

Lời giải

Chọn B

Vì \(y = f\left( x \right)\)là hàm số chẵn,xác định,liên tục trên \(\left[ { – 1;1} \right]\) nên \(\int_{ – 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 2\int_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = 4\).

Câu 5. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;1} \right]\), thỏa \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 – x} \right) = \sqrt {1 – {x^2}} \). Giá trị tích phân \(\int_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} \) bằng?

A. 0. 

B. 1. 

C.\(\frac{1}{2}\). 

D. \(\frac{3}{2}\).

Lời giải

Chọn B

Ta có: \(2f\left( x \right) + 3f\left( {1 – x} \right) = \sqrt {1 – {x^2}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}2f\left( 0 \right) + 3f\left( 1 \right) = 1\\2f\left( 1 \right) + 3f\left( 0 \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = – \frac{2}{5}\\f\left( 1 \right) = \frac{3}{5}\end{array} \right.\).

Vậy: \(\int_0^1 {f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = f\left( 1 \right) – f\left( 0 \right) = 1\).

Câu 6. Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\) và thỏa mãn \(f(0) = 3\) và \(f(x) + f(2 – x) = {x^2} – 2x + 2,\forall x \in \mathbb{R}\). Tích phân \(\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} \) bằng

A. \(\frac{{ – 4}}{3}\). 

B. \(\frac{2}{3}\). 

C. \(\frac{5}{3}\). 

D. \(\frac{{ – 10}}{3}\).

Lời giải

Chọn B

Thay x = 0 ta được \(f(0) + f(2) = 2 \Rightarrow f(2) = 2 – f(0) = 2 – 3 = – 1\)

Ta có: \(\int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {f(2 – x){\rm{d}}x} \)

Từ hệ thức đề ra: \(\int\limits_0^2 {\left( {f(x) + f(2 – x)} \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left( {{x^2} – 2x + 2} \right){\rm{d}}x} = \frac{8}{3} \Rightarrow \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = \frac{4}{3}.\)

Áp dụng công thức tích phân từng phần, ta lại có:

\(\int\limits_0^2 {xf'(x){\rm{d}}x} = \left. {xf(x)} \right|_0^2 – \int\limits_0^2 {f(x){\rm{d}}x} = 2.( – 1) – \frac{4}{3} = – \frac{{10}}{3}.\)

Câu 7. Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\,1} \right]\) thỏa mãn \(f\left( 1 \right) = 1\), \(\,\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \frac{9}{5}} \) và \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = \frac{2}{5}\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).

A. \(I = \frac{3}{5}\). 

B. \(I = \frac{1}{4}\). 

C. \(I = \frac{3}{4}\). 

D. \(I = \frac{1}{5}\).

Lời giải

Chọn B

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow {t^2} = x \Rightarrow {\rm{d}}x = 2t{\rm{d}}t\). Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = 0;\,\,x = 1 \Rightarrow t = 1\)

Suy ra \(\int\limits_0^1 {f\left( {\sqrt x } \right){\rm{d}}x} = 2\int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} \)\(\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {t.f\left( t \right){\rm{d}}t} = \frac{1}{5}\). Do đó \(\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{5}\)

Mặt khác \(\int\limits_0^1 {x.f\left( x \right){\rm{d}}x} = \left. {\frac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^1 – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \)\( = \frac{1}{2} – \int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} \).

Suy ra \(\int\limits_0^1 {\frac{{{x^2}}}{2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{1}{2} – \frac{1}{5} = \frac{3}{{10}}\)\(\Rightarrow \int\limits_0^1 {{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} = \frac{3}{5}\)

Ta tính được \(\int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = \frac{9}{5}\).

Do đó \(\int\limits_0^1 {{{\left[ {f’\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x – 2\int\limits_0^1 {3{x^2}f’\left( x \right){\rm{d}}x} } + \int\limits_0^1 {{{\left( {3{x^2}} \right)}^2}} {\rm{d}}x = 0\)\(\Leftrightarrow \int\limits_0^1 {{{\left( {f’\left( x \right) – 3{x^2}} \right)}^2}{\rm{d}}x} = 0\)

\(\Leftrightarrow f’\left( x \right) – 3{x^2} = 0\)\(\Leftrightarrow f’\left( x \right) = 3{x^2}\)\(\Leftrightarrow f\left( x \right) = {x^3} + C\).

Vì \(f\left( 1 \right) = 1\) nên \(f\left( x \right) = {x^3}\)

Vậy \(I = \int\limits_0^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} = \int\limits_0^1 {{x^3}{\rm{d}}x} = \frac{1}{4}\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề tính tích phân dựa vào tính chất tích phân. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề tích phân hàm ẩn phát triển từ câu 41 của đề tham khảo môn Toán 2021 của Bộ Giáo dục

• Ứng dụng tích phân giải bài toán vật lý và bài toán thực tế

Chúc các em học tập tốt!