Chuyên đề ôn thi THPT QG: Tìm mô đun của số phức

• Số phức bất kì \(z = \left( {a;b} \right)\) được biểu diễn duy nhất dạng \(z = a + bi\), \(a;b \in \mathbb{R}\), trong đó \({i^2} = – 1\)

• Biểu diễn \(a + bi\) gọi là dạng đại số của số phức \(z = \left( {a;b} \right)\). Do đó:\(\mathbb{C} = \left\{ {\left. {a + bi} \right|a \in \mathbb{R},b \in \mathbb{R},{i^2} = – 1} \right\}\).

\(a = {\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right)\): phần thực của \(z\), \(b = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right)\): phần ảo của \(z\). Đơn vị ảo là \(i\).

• Số phức bất kì \(z = \left( {a;b} \right)\) được biểu diễn duy nhất dạng \(z = a + bi\), \(a;b \in \mathbb{R}\), trong đó \({i^2} = – 1\)

• Lũy thừa đơn vị ảo i:

\({i^0} = 1\), \({i^1} = i\), \({i^2} = – 1\), \({i^3} = {i^2}.i = – i\)…, bằng quy nạp ta được:

Lưu ý : \({i^{4n}} = 1\), \({i^{4n + 1}} = i\), \({i^{4n + 2}} = – 1\), \({i^{4n + 3}} = – i\), \(\forall n \in {\mathbb{N}^ * }\)Do đó: \({i^n} \in \left\{ { – 1;1; – i;i} \right\},\forall n \in \mathbb{N}\)

• Số phức liên hợp:

• Cho \(z = a + bi\), số phức \(\overline z = a – bi\) gọi là số phức liên hợp của \(z\)

\(z = \overline z \Leftrightarrow z \in \mathbb{R}\).

• Số phức liên hợp: Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(\overline z = a + bi\) .

• Mô đun số phức: \(\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \)

• Biểu diễn hình học của số phức: Điểm biểu diễn số phức \(z = a + bi\) trên mặt phẳng tọa độ là \(M\left( {a;b} \right)\) .

• Gọi \(M\left( z \right),{\rm{ }}{M_1}\left( {\overline z } \right),{\rm{ }}{M_2}\left( { – z} \right)\). Khi đó: \({M_1}\) đối xứng với M qua Ox; \({M_2}\) đối xứng với M qua O.

• Gọi \(\overrightarrow u ,{\rm{ }}\overrightarrow v \) lần lượt là biểu diễn của hai số phức \({z_1},{\rm{ }}{z_2}\). Khi đó: \(\overrightarrow u \pm \overrightarrow v \) là biểu diễn của \({z_1} \pm {z_2}\).

• Cho: \(a\) là điểm biểu diễn của \({z_1}\) và B là điểm biểu diễn của \({z_2}\)

Khi đó: \(\overrightarrow {AB} \) là biểu diễn của \({z_2} – {z_1}\) và \(aB = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).

Ví dụ: Cho số phức \(z = 3 + 4i\). Môđun của số phức \(\left( {1 + i} \right)z\) bằng

A. 50. 

B. 10. 

C. \(\sqrt {10} \). 

D. \(5\sqrt 2 \).

Lời giải

Chọn B

\(\left( {1 + i} \right)z = \left( {1 + i} \right)\left( {3 + 4i} \right) = – 1 + 7i\)

\(\left| { – 1 + 7i} \right| = \sqrt {1 + {7^2}} = 50\)

Mức độ 1

Câu 1. Cho hai số phức \(z = 2 + i\) và \(w = 3 – 2i\). Tính modul của số phức \(z.w\).

A. 65. 

B. \(\sqrt {65} \). 

C. \(\sqrt 5 \). 

D. \(\sqrt {63} \).

Lời giải

Chọn B

\(z.w = \left( {2 + i} \right)\left( {3 – 2i} \right) = 8 – i\)

\(\left| {z.w} \right| = \sqrt {{8^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} \)

Câu 2. Cho hai số phức \(z = 5i\). Tính modul của số phức \(\left( {1 + i} \right).z\).

A. \(\sqrt 2 \). 

B. \(5\). 

C. \(5\sqrt 2 \). 

D. \(4\).

Lời giải

Chọn C

\(\left( {1 + i} \right).z = \left( {1 + i} \right).5i = – 5 + 5i\)

\(\left| {\left( {1 + i} \right).5i} \right| = \left| { – 5 + 5i} \right| = \sqrt {{{\left( { – 5} \right)}^2} + {5^2}} = 5\sqrt 2 \)

Mức độ 2

Câu 1. Cho hai điểm \(M\left( {2; – 1} \right)\) và \(N\left( {3;1} \right)\) lần lượt là điểm biểu diễn số phức \({z_1}\) và \({z_2}\). Tìm phần thực \(a\) của số phức \(w = {z_1}.{z_2}\).

A. \(a = 7\). 

B. \(a = – 1\). 

C. \(a = – 7\). 

D. \(a = 2\).

Lời giải

Chọn A

\({z_1} = 2 – i\), \({z_2} = 3 + i\)

\(w = {z_1}.{z_2} = \left( {2 – i} \right)\left( {3 + i} \right) = 7 – i\)

Phần thực của w là \(a = 7\)

Câu 2. Cho số phức \(z = 3 + 4i\). Số phức \(w = z + \bar z.i\) là

A. \(w = 2 + 4i\). 

B. \(w = 10 + 4i\). 

C. \(w = – 1 + 7i\). 

D. \(w = 7 + 7i\).

Lời giải:

Chọn D

\(w = 3 + 4i + \left( {3 – 4i} \right).i = 7 + 7i\)

Câu 3. Cho hai số phức \({z_1} = 3 – 2i\), \({z_2} = x + 1 + yi\) với \(z = x + yi\left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)\). Tìm cặp \(z + 1 – 3i = x + 1 + \left( {y – 3} \right)i\) để \(\left| {z + 1 – 3i} \right| \le 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {y – 3} \right)}^2}} \le 4 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} \le 16\).

A. \(\left( {x;y} \right) = \left( {5;4} \right)\). 

B. \(\left( {x;y} \right) = \left( {4;5} \right)\). 

C. \(\left( {x;y} \right) = \left( {5; – 4} \right)\). 

D. \(\left( {x;y} \right) = \left( { – 4;5} \right)\).

Lời giải

Chọn A

\(2{\bar z_1} = 2\left( {3 + 2i} \right) = 6 + 4i\)

\({z_2} = 2{\bar z_1} \Leftrightarrow x + 1 + yi = 6 + 4i \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 1 = 6\\y = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 4\end{array} \right.\).

Mức độ 3

Câu 1. Cho hai số phức \({z_1}\), \({z_2}\) thay đổi, luôn thỏa mãn \(\left| {{z_1} – 1 – 2i} \right| = 1\) và \(\left| {{z_2} – 5 + i} \right| = 2\). Tìm giá trị nhỏ nhất \({P_{\min }}\) của biểu thức \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right|\).

A. \({P_{\min }} = 2\). 

B. \({P_{\min }} = 1\). 

C. \({P_{\min }} = 5\). 

D. \({P_{\min }} = 3\).

Lời giải:

Chọn A

Gọi \(A\), \(B\) lần lượt là điểm biểu diễn các số phức \({z_1}\), \({z_2}\). Khi đó \(P = \left| {{z_1} – {z_2}} \right| = AB\).

Ta có \(a\) thuộc đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {1\,;\,2} \right)\), bán kính \({R_1} = 1\) và B thuộc đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( {5\,;\, – 1} \right)\), bán kính \({R_2} = 2\).

\({I_1}{I_2} = \sqrt {{4^2} + {{\left( { – 3} \right)}^2}} = 5 > {R_1} + {R_2} = 3\) nên hai đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right)\) ở ngoài nhau.

Vậy \({P_{\min }} = {I_1}{I_2} – {R_1} – {R_2} = 5 – 1 – 2 = 2\).

Câu 2. Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3 \). Tìm giá trị lớn nhất của \(T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right|\).

A. \(2\sqrt {26} \). 

B. \(2\sqrt {46} \). 

C. \(2\sqrt {13} \). 

D. \(2\sqrt {23} \).

Lời giải

Chọn C

Giả sử \(z = x + yi\) có điểm biểu diễn là \(M\left( {x\,;\,y} \right)\).

Ta có \(\left| {z + 1} \right| = \sqrt 3  \Leftrightarrow \) \({\left( {x + 1} \right)^2} + {y^2} = 3\).

Suy ra tập hợp các điểm M là đường tròn có tâm \(I\left( { – 1\,;\,0} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 3 \).

Gọi \(A\left( { – 4\,;\,1} \right), B\left( {2\,;\, – 1} \right)\). Khi đó ta thấy I là trung điểm của đoạn \(AB\).

Xét tam giác MAB có có \(M{I^2} = \frac{{M{A^2} + M{B^2}}}{2} – \frac{{A{B^2}}}{4} \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}\).

Do đó \(T = \left| {z + 4 – i} \right| + \left| {z – 2 + i} \right| = MA + MB\).

Suy ra \({T^2} = {\left( {MA + MB} \right)^2} \le 2\left( {M{A^2} + M{B^2}} \right) = 2\left( {2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) \({T^2} \le 2\left( {2{R^2} + \frac{{A{B^2}}}{2}} \right) = 52 \Leftrightarrow \)T \le 2\sqrt {13} \).

Vậy giá trị lớn nhất của T bằng \(2\sqrt {13} \) khi \(\left\{ \begin{array}{l}MA = MB\\M \in \left( I \right)\end{array} \right.\).

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề ôn thi THPT QG: Tìm mô đun của số phức. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Phương pháp giải một số bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

• Lý thuyết và bài tập về dạng lượng giác của số phức

Chúc các em học tốt!