YOMEDIA
NONE

Bài tập 11 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2

Bài tập 11 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2

Cho hình thang ABCD (AB // CD). Trên cạnh bên AD lấy điểm E sao cho \({{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) . Qua E kẻ đường thẳng song song với các đáy và cắt BC tại F

Chứng minh rằng: \(EF = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)

HD: Kẻ thêm đường chéo AC, cắt EF ở I, rồi áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào các tam giác ADC và CAB.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

Hướng dẫn giải

- Định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh ấy những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

- Hệ quả định lí Ta-lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh còn lại của một của một tam giác và song song với các cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh còn lại của tam giác đã cho.

- Tính chất tỉ lệ thức:  \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} \Rightarrow \dfrac{a}{{a + b}} = \dfrac{c}{{c + d}}\)

Lời giải chi tiết

Kẻ đường chéo \(AC\) cắt \(EF\) tại \(I.\)

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC \) có \(EI // CD\), ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {AD}} = {{EI} \over {CD}}\)

\( \Rightarrow \displaystyle EI = {{AE} \over {AD}}.CD\)   (1)

Lại có: \(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\) (gt)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)

\( \displaystyle\Rightarrow {{AE} \over {AE + ED}} = {p \over {p + q}}\)

Hay \( \displaystyle{{AE} \over {AD}} = {p \over {p + q}}\)  (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\displaystyle EI = {p \over {p + q}}.CD\)

Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:

\(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AI} \over {IC}}\)          (3)

Áp dụng định lí Ta-lét vào \(\Delta ADC\) có \(EI // CD\), ta có:

\(\displaystyle {{AE} \over {ED}} = {{AI} \over {IC}}\)          (4)

Từ (3) và (4) suy ra: \(\displaystyle {{BF} \over {FC}} = {{AE} \over {ED}} = {p \over q}\)

Áp dụng hệ quả định lí Ta-lét vào \(\Delta ABC\) có \(IF // AB\), ta có:

\(\displaystyle {{IF} \over {AB}} = {{CF} \over {CB}}\)

\(\displaystyle  \Rightarrow IF = {{CF} \over {CB}}.AB\)           (5)

Ta có: \(\displaystyle {{BF} \over {CF}} = {p \over q}\) (cmt)

\(\displaystyle  \Rightarrow {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)

Áp dụng tính chất của tỉ lệ thức ta có:

\(\displaystyle {{CF} \over {BF}} = {q \over p}\)

\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CF + BF}} = {q \over {p + q}} \)

\(\displaystyle \Rightarrow {{CF} \over {CB}} = {q \over {p + q}}\)    (6)

Từ (5) và (6) suy ra: \(\displaystyle IF = {q \over {p + q}}.AB\)

Vậy \(\displaystyle EF = EI + {\rm I}F \)\(\,\displaystyle = {p \over {p + q}}.CD + {q \over {p + q}}.AB \)\(\,\displaystyle = {{p.CD + q.AB} \over {p + q}}\)

-- Mod Toán 8 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 85 SBT Toán 8 Tập 2 HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF